dwa równania

[kowalik90]

Proszę bardzo o pomoc w rozwiązaniu równań:
a)\(e^z= \frac{1+i \sqrt{3} }{2}\)
b)\(\sin z= \frac{4}{3}i\)

[Panko]

a)
\(e^z=e^{x+iy}= e^x \cdot \cos y+e^x \cdot \sin y \cdot i\) =\(\frac{1}{2} +\frac{ \sqrt{3} }{2}i\)=\(\cos \frac{ \pi }{3}+ \sin \frac{ \pi }{3}i\)

\(\begin{cases} e^x \cdot \cos y= \cos \frac{ \pi }{3} \\e^x \cdot \sin y= \sin \frac{ \pi }{3} \end{cases}\)

stąd \(e^{2x}( \cos ^2y+ \sin ^2y)= \sin ^2\frac{ \pi }{3} + \cos ^2\frac{ \pi }{3}\)

\(e^{2x}= 1=e^0\)
\(x=0\)
Dalej już z górki.

[panb]

Albo, korzystając z postaci wykładniczej:
\(e^z=\cos \frac{\pi}{3}+i\sin \frac{\pi}{3}=e^{i \cdot \left( \frac{\pi}{3}+2k\pi \right)}\\
z= \frac{\pi}{3} (6k+1)i,\,\,\, k\in \zz\)

Nie jestem pewien tego k, ale chyba ma być.