Znaleźć bazę im

Algebra liniowa, algebra, wektory, liczby zespolone
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Belissar
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 37
Rejestracja: 09 kwie 2016, 12:50
Podziękowania: 21 razy
Otrzymane podziękowania: 2 razy
Płeć:

Znaleźć bazę im

Post autor: Belissar »

Niech \(\varphi: \rr ^4 \to \rr ^3\) będzie przeksztalceniem liniowym takim, że \(M^B_A(\varphi)= \begin{bmatrix}
2&3&1&1\\
1&1&0&1\\
1&4&3&-2
\end{bmatrix}\)
, gdzie \(A\) jest jakąś bazą \(\rr ^4\), a \(B=((1,1,1), (1,1,0),(1,0,0))\).
Musimy znaleźć bazę \(im\varphi\)

Nie jestem pewien jaka ścieżka rozwiązania jest optymalna - uznałem że dobrze by było mieć macierz przekształcenia w bazach standardowych. Z danej macierzy udało mi się wyliczyć macierz \(M^S_A= \begin{bmatrix}
4&8&4&0\\
3&4&1&2\\
2&3&1&1
\end{bmatrix}\)

S - u mnie to baza standardowa.
Ale jak to dalej poczarować żeby otrzymać macierz z bazy standardowej do bazy standardowej? Nie proszę o schodkowanie za mnie macierzy, sam pomysł, bo patrzę na to już jakiś czas, porównuję ze swoimi notatkami i stoję w miejscu, a wydaje się to dosyć elementarne.
octahedron
Expert
Expert
Posty: 6762
Rejestracja: 19 mar 2011, 00:22
Otrzymane podziękowania: 3034 razy
Płeć:

Post autor: octahedron »

\(\mathbb{R}^4\ni x=\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{bmatrix}\\
\varphi(x)=M_A^B(\varphi)\cdot x=\begin{bmatrix}2&3&1&1\\1&1&0&1\\1&4&3&-2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{bmatrix}=x_1\begin{bmatrix}2\\1\\1\end{bmatrix}+x_2\begin{bmatrix}3\\1\\4\end{bmatrix}+x_3\begin{bmatrix}1\\0\\3\end{bmatrix}+x_4\begin{bmatrix}1\\1\\-2\end{bmatrix}\\\)

Obraz \(\varphi\) jest rozpięty na wektorach kolumnowych \(M_A^B\). Wybieramy z nich zbiór wektorów niezaleznych i mamy bazę. Czyli schodkowanie \(M_A^B\), ale na kolumnach.
Belissar
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 37
Rejestracja: 09 kwie 2016, 12:50
Podziękowania: 21 razy
Otrzymane podziękowania: 2 razy
Płeć:

Post autor: Belissar »

W porządku, ale w jaki sposób wykorzystać tu podaną w poleceniu bazę B? Z tego co napisałeś otrzymamy 2 wektory liniowo niezależne, ale one chyba obrazu jeszcze nie generują?
octahedron
Expert
Expert
Posty: 6762
Rejestracja: 19 mar 2011, 00:22
Otrzymane podziękowania: 3034 razy
Płeć:

Post autor: octahedron »

Generują. Są to wektory \((2,1,1),(1,0,3)\) w bazie \(B\), czyli \((4,3,2),(4,1,1)\) w standardowej.
ODPOWIEDZ