Bazy i wymiar oraz macierze

[Flippy]

1)Wyznaczyć :

a) bazy i wymiary E i F

b) E + F

c) E \(\cap\) F

Gdzie E=Ker A , F=Im A A=\(\begin{bmatrix}1& 2&4 &-3 \\ 3&5&6&-4 \\ 4&5&-2&3 \\ 3&8&24&-19 \end{vmatrix}\)

2)Niech:

A=\(\begin{bmatrix} 0& 4&3 &3 \\ 1&1&-2&3 \\ -1&0&-1&0 \\ 2&5&0&1 \\ 3&-1&7&2 \end{vmatrix}\)

B=\(\begin{bmatrix} 4& 7&1 &-4 \\ 1&4&-2&1 \\ -2&0&-4&2 \\ 6&6&6&-1 \\ 7&1&13&7 \end{vmatrix}\)

Zbadaj czy kolumny macierzy B należą do Im A i czy można z nich wybrać bazę przestrzeni Im B.

3)Operator liniowy w \(R^{3}\) jest reprezentowany macierzą :

A=\(\begin{bmatrix} 1&-18&25 \\ -1&-22&20 \\ 1&-25&22 \end{vmatrix}\)

w bazie ((8,-6,7),(-26,7-13),(9,-3,7)) . Znaleźć jego macierz w bazie ((1,-2,1),(3,-1,2)(2,1,2)).

4)Niech V=\(R^{2}\) , W=\(R^{3}\) oraz T : V\(\Rightarrow\)W będzie określone wzorem:

T\(\begin{bmatrix}a \\ b \end{bmatrix}\)=\(\begin{bmatrix}3a-b \\ 2a+4b \\ -a+b \end{bmatrix}\)

Bazy w V i W będą standardowe (nazwijmy je \(\alpha\) i \(\beta\) , natomiast
\(\alpha '\)=((2,1),(-1,1)) , \(\beta '\)=((1,-1,0),(0,2,0),(0,1,1)).

a) Wyznacz A=\([T]_{\alpha\)\(\beta\)} i B=\([T]_{\alpha'\)\(\beta'\)}
b)Wyznaczyć macierz przejścia Q z \(\beta\) do \(\beta'\) oraz P z \(\alpha\) do \(\alpha'\)