Macierz przemienna

[chriscold]

Znaleźć wszystkie macierze kwadratowe przemienne z macierzą :
|2 -1|
|3 -1|

[escher]

Taka macierz musi być oczywiście 2x2. Oznaczmy jej wyrazy przez w,x,y,z. Ma być spełnione równanie
\(\begin{bmatrix} w & x\\ y & z\end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} 2 & -1\\ 3 & -1\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix} 2 & -1\\ 3 & -1\end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} w & x\\ y & z\end{bmatrix}\)
Czyli
\(\begin{bmatrix} 2w+3x & -w-x\\ 2y +3z & -y -z\end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 2w - y & 2x - z\\ 3w - y & 3x -z\end{bmatrix}\)
To nam daje cztery równości, które muszą być spełnione 2w+3x=2w-y, -w-x =2x-z, 2y-z = 3w - y , -y-z = 3x -z.
Dwa z tych równań wynikają z pozostałych. Ostatecznie można na przykład w i x wziąć dowolne i wtedy
y=-3x, z=3x+w, więc macierze przemienne z daną są postaci

\(\begin{bmatrix}
w & x\\
-3x & 3x+w
\end{bmatrix}\)

escher