Mógłby mi ktoś wytłumaczyć jak to zrobić? Jakoś nie mogę tego zrozumieć.
1) A={z e zespolonych: Re(z+1/z-1)=0, -II/2 \< Argz\<II/2}
2) A={z e zespolonych: Im(1/z)=1, -II/2 \< Argz\<0}
Wiem tylko jak w obu zadaniach zaznaczyć kąty napisane po przecinku, przy argumencie. Wiem też, że z=x+iy.
Czyli:
1) Re(z+1/z-1) =0
Re(z+iy+1/x+iy-1)=0
I dalej nie wiem.
Będę wdzięczna za wytłumaczenie i pokazanie na tych dwóch zadaniach jak to zrobić. W piątek mam kolokwium i muszę to jeszcze dziś poćwiczyć.
Lliczby zespolone. Re i Im
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Kąt w tych przykładach oznacza ćwiartki (na zwykłym układzie współrzędnych) do których te punkty zależą np. argument \(\varphi=\frac{\pi}{2}\) oznacza, że liczba leży na prostej przechodzącej przez 0 która tworzy z osią OX kąt równy \(\varphi\).
Dalej będziemy pisać \(z=a+bi\), gdzie \(a,b\in\mathbb{R}\)
1. Na początek zauważ, że \(z\neq 1\)
\(\frac{z+1}{z-1}=\frac{(a+1)+bi}{(a-1)+bi}=\frac{((a+1)+bi)((a-1)-bi)}{((a-1)+bi)((a-1)-bi)}=\frac{a^2-1+b^2-2bi}{(a-1)^2+b^2}=\frac{a^2-1+b^2}{(a-1)^2+b^2}+i\frac{-2b}{(a-1)^2+b^2}\)
Stąd \({\rm Re}(\frac{z+1}{z-1})=\frac{a^2+b^2-1}{(a-1)^2+b^2}\). Rozwiązując dalej równanie otrzymujemy
\(a^2+b^2-1=0\), czyli liczby spełniające ten warunek leżą na okręgu o środku w początku układu współrzędnych oraz promieniu 1. Uwzględniając kąt (tzn. interesują nas tylko liczby leżące w pierwszej i czwartej ćwiartce lub równoważnie te \(z\in\mathbb{C}\) dla których \({\rm Re}(z)\geq 0\)) otrzymujemy że rozwianiem jest połowa okręgu jednostkowego która leży w pierwszej i czwartej ćwiartce bez punktu \(z=1\).
2. \(\frac{1}{z}=\frac{a-bi}{(a+bi)(a-bi)}=\frac{a}{a^2+b^2}+i\frac{-b}{a^2+b^2}\)
Z warunku \({\rm Im}(\frac{1}{z})=1\) otrzymujemy \(a^2=-b^2-b=-b(b+1)\). Prawa strona tego równania jest większa bądź równa 0 dla \(b\in[-1,0]\). Wówczas \(a=\pm\sqrt{-b^2-b}\). Ponieważ argument jest pomiędzy 0 a \(-\frac{\pi}{2}\), więc interesują nas tylko punkty leżące w czwartej ćwiartce (tzn. te \(z=a+bi\) dla których \(a\geq 0\) i \(b\leq 0\)). Stąd \(A=\{z=a+bi\in\mathbb{C}:b\in[-1,0],\quad a=\sqrt{-b^2-b}\}\)
Dalej będziemy pisać \(z=a+bi\), gdzie \(a,b\in\mathbb{R}\)
1. Na początek zauważ, że \(z\neq 1\)
\(\frac{z+1}{z-1}=\frac{(a+1)+bi}{(a-1)+bi}=\frac{((a+1)+bi)((a-1)-bi)}{((a-1)+bi)((a-1)-bi)}=\frac{a^2-1+b^2-2bi}{(a-1)^2+b^2}=\frac{a^2-1+b^2}{(a-1)^2+b^2}+i\frac{-2b}{(a-1)^2+b^2}\)
Stąd \({\rm Re}(\frac{z+1}{z-1})=\frac{a^2+b^2-1}{(a-1)^2+b^2}\). Rozwiązując dalej równanie otrzymujemy
\(a^2+b^2-1=0\), czyli liczby spełniające ten warunek leżą na okręgu o środku w początku układu współrzędnych oraz promieniu 1. Uwzględniając kąt (tzn. interesują nas tylko liczby leżące w pierwszej i czwartej ćwiartce lub równoważnie te \(z\in\mathbb{C}\) dla których \({\rm Re}(z)\geq 0\)) otrzymujemy że rozwianiem jest połowa okręgu jednostkowego która leży w pierwszej i czwartej ćwiartce bez punktu \(z=1\).
2. \(\frac{1}{z}=\frac{a-bi}{(a+bi)(a-bi)}=\frac{a}{a^2+b^2}+i\frac{-b}{a^2+b^2}\)
Z warunku \({\rm Im}(\frac{1}{z})=1\) otrzymujemy \(a^2=-b^2-b=-b(b+1)\). Prawa strona tego równania jest większa bądź równa 0 dla \(b\in[-1,0]\). Wówczas \(a=\pm\sqrt{-b^2-b}\). Ponieważ argument jest pomiędzy 0 a \(-\frac{\pi}{2}\), więc interesują nas tylko punkty leżące w czwartej ćwiartce (tzn. te \(z=a+bi\) dla których \(a\geq 0\) i \(b\leq 0\)). Stąd \(A=\{z=a+bi\in\mathbb{C}:b\in[-1,0],\quad a=\sqrt{-b^2-b}\}\)