Liczby zespolone

[Qmpel]

Proszę o pomoc z tymi dwoma przykładami:
Oblicz z:
1) \((1+i)^{n}\) n=2,3,4...

2) \(\frac{(1-i)^{n}}{(1+i)^{n-2}}\) n=1,2,3...

Z góry bardzo dziękuję

[lambda_term]

sprowadz liczby zespolone do postaci trygonometrycznej, potem powinno byc latwiej...

[greg]

1. \(1+i\) przedstawiamy w postaci trygonometrycznej \(|1+i|=\sqrt{2}\).
Stąd \(1+i=\sqrt{2}(\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2})\). Wyznaczamy argument z układu
\(\left\{\begin{array}{l}\cos(\varphi)=\frac{\sqrt{2}}{2}\\ \sin(\varphi)=\frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right.\)
Stąd \(\varphi=\frac{\pi}{4}\). Czyli \(1+i=\sqrt{2}(\cos(\frac{\pi}{4})+i\sin(\frac{\pi}{4}))\)
Stosujemy wzór de Moivre'a (\(z^n=|z|^n(\cos(n\varphi)+i\sin(n\varphi))\)) i otrzymujemy
\((1+i)^n=(\sqrt{2})^n(\cos(\frac{n\pi}{4})+i\sin(\frac{n\pi}{4}))\). Pamiętając, że cosinus i sinus są okresowe otrzymujemy
\((1+i)^n=\left\{\begin{array}{ll}
(\sqrt{2})^n(\cos(\frac{(2+k8)\pi}{4})+i\sin(\frac{(2+k8)\pi}{4}))=(\sqrt{2})^n(0+i) & ,\textrm{dla}n=2+8k\\
(\sqrt{2})^n(\cos(\frac{(3+k8)\pi}{4})+i\sin(\frac{(3+k8)\pi}{4}))=(\sqrt{2})^n(-\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2}) & ,\textrm{dla}n=3+8k
(\sqrt{2})^n(\cos(\frac{(4+k8)\pi}{4})+i\sin(\frac{(4+k8)\pi}{4}))=(\sqrt{2})^n(-1+i0) & ,\textrm{dla}n=4+8k
(\sqrt{2})^n(\cos(\frac{(5+k8)\pi}{4})+i\sin(\frac{(5+k8)\pi}{4}))=(\sqrt{2})^n(-\frac{\sqrt{2}}{2}-i\frac{\sqrt{2}}{2}) & ,\textrm{dla}n=5+8k
(\sqrt{2})^n(\cos(\frac{(6+k8)\pi}{4})+i\sin(\frac{(6+k8)\pi}{4}))=(\sqrt{2})^n(0-i) & ,\textrm{dla}n=6+8k
(\sqrt{2})^n(\cos(\frac{(7+k8)\pi}{4})+i\sin(\frac{(7+k8)\pi}{4}))=(\sqrt{2})^n(\frac{\sqrt{2}}{2}-i\frac{\sqrt{2}}{2}) & ,\textrm{dla}n=7+8k
(\sqrt{2})^n(\cos(\frac{(8+k8)\pi}{4})+i\sin(\frac{(8+k8)\pi}{4}))=(\sqrt{2})^n(1+i0) & ,\textrm{dla}n=8+8k
(\sqrt{2})^n(\cos(\frac{(9+k8)\pi}{4})+i\sin(\frac{(9+k8)\pi}{4}))=(\sqrt{2})^n(\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2}) & ,\textrm{dla}n=9+8k
\end{array}\right.\)

2.Najpierw policzymy pomocnicze wartości
\((1+i)^2=1+2i-1=2i\), \((1-i)^2=1-2i-1=-2i\), \(1-i=\sqrt{2}(\cos(\frac{\pi}{4})+i\sin(\frac{7\pi}{4}))\)
Przechodzimy do właściwych obliczeń
\(\frac{(1-i)^n}{(1+i)^{n-2}}=\frac{(1-i)^n(1+i)^2}{(1+i)^n}=\left(\frac{1-i}{1+i}\right)^n(1+i)^2=2i\left(\frac{(1-i)(1-i)}{(1+i)(1-i)} \right)^n=2i\frac{(-2i)^n}{2^n}=\frac{2^{n+1}}{2^n}i^{n+1}(-1)^n=
=2(-1)^ni^{n+1}\)
Ponieważ \(i^2=-1, i^3=-i, i^4=1,i^5=i\) otrzymujemy
\(\frac{(1-i)^n}{(1+i)^{n-2}}=\left\{\begin{array}{ll}
2\cdot(-1)\cdot(-1)=2 & \textrm{dla }n=1+4k\\
2\cdot 1\cdot(-i)=-2i & \textrm{dla }n=2+4k\\
2\cdot (-1)\cdot 1=-2 & \textrm{dla }n=3+4k\\
2\cdot 1\cdot i=2i & \textrm{dla }n=4+4k
\end{array}\right.\)