liczby zespolone

Algebra liniowa, algebra, wektory, liczby zespolone
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
dawid0512
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 348
Rejestracja: 28 mar 2009, 09:41
Podziękowania: 107 razy
Otrzymane podziękowania: 2 razy

liczby zespolone

Post autor: dawid0512 »

\((1-i \sqrt{3})^{56}\)
irena
Guru
Guru
Posty: 22300
Rejestracja: 10 paź 2009, 19:08
Otrzymane podziękowania: 9858 razy
Płeć:

Post autor: irena »

\(\sqrt{1+(-\sqrt{3})^2}=\sqrt{4}=2\)
\(z=2(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i)\)

\(cos\phi=\frac{1}{2}\ \wedge\ sin\phi=-\frac{\sqrt{3}}{2}\\\phi=\frac{5}{3}\pi\)

\(56\cdot\frac{5}{3}\pi=\frac{280}{3}\pi=46\cdot2\pi+\frac{4}{3}\pi\)

\(z^{56}=2^{56}(cos(\frac{4}{3}\pi)+i\ sin(\frac{4}{3}\pi))=2^{56}(-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i)=-2^{55}(1+i\ \sqrt{3})\)
dawid0512
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 348
Rejestracja: 28 mar 2009, 09:41
Podziękowania: 107 razy
Otrzymane podziękowania: 2 razy

Post autor: dawid0512 »

\(z=2(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i)\) skąd to :)?
irena
Guru
Guru
Posty: 22300
Rejestracja: 10 paź 2009, 19:08
Otrzymane podziękowania: 9858 razy
Płeć:

Post autor: irena »

\(2(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i)=(1-i\sqrt{3})\)

Zamieniłam sobie postać liczby na postać trygonometryczną:
\(z=1-i\sqrt{3}=2(\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2})=2(cos(\frac{5}{3}\pi)+i\ sin(\frac{5}{3}\pi))\)
dawid0512
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 348
Rejestracja: 28 mar 2009, 09:41
Podziękowania: 107 razy
Otrzymane podziękowania: 2 razy

Post autor: dawid0512 »

zgadza się a teraz ten kąt skąd się wziął ? skąd wiadomo że to akurat 5/3
irena
Guru
Guru
Posty: 22300
Rejestracja: 10 paź 2009, 19:08
Otrzymane podziękowania: 9858 razy
Płeć:

Post autor: irena »

Bo spośród kątów z przedziału \(<0;\ 2\pi>\) to właśnie kąt \(\phi=\frac{5}{3}\) spełnia warunki:
\(cos\phi=\frac{1}{2}\ \ i\ \ sin\phi=-\frac{\sqrt{3}}{2}\)
Awatar użytkownika
ewelawwy
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 2057
Rejestracja: 16 kwie 2010, 15:32
Lokalizacja: Warszawa
Podziękowania: 2 razy
Otrzymane podziękowania: 910 razy
Płeć:

Post autor: ewelawwy »

5/3 pi tak konkretnie
stąd, że sinus tego kąta ma być równy \(-\frac{\sqrt{3}}2\) a cosinus 1/2
dawid0512
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 348
Rejestracja: 28 mar 2009, 09:41
Podziękowania: 107 razy
Otrzymane podziękowania: 2 razy

Post autor: dawid0512 »

bo ja mam kąt -pi/3
irena
Guru
Guru
Posty: 22300
Rejestracja: 10 paź 2009, 19:08
Otrzymane podziękowania: 9858 razy
Płeć:

Post autor: irena »

Ale wziąłeś kąt, którego wartości funkcji są takie same, kąt równoważny, tylko nie z tego przedziału. \(-\frac{\pi}{3}+2\pi=\frac{5}{3}\pi\)
ODPOWIEDZ