Zadania na płaszczyznach

Algebra liniowa, algebra, wektory, liczby zespolone
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
matej_mlody
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 7
Rejestracja: 16 sty 2011, 18:12
Podziękowania: 2 razy

Zadania na płaszczyznach

Post autor: matej_mlody »

Witam. Mam wielką prośbe aby ktoś pomógł mi rozwiązać zadanka z tej listy, bo to jest moje być albo nie być na studia. W innym wypadku mam nie zaliczone ćwiczenia. Liczę na waszą pomoc.

1. Znaleźć równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty P \(\left(1,2,1 \right)\) i równoległej do wektorów \(\vec{u}= \left[2,5,-3 \right]\) i \(\vec{v}= \left[0,3, 2 \right]\).

2. Napisać w postaci kierunkowej i parametrycznej równania prostej przechodzącej przez dwa punkty A \(\left( 3, -1,2\right)\) i B \(\left(1, 1, 5 \right)\)

3. Znaleźć równanie płaszczyzny przechodzącej przez dwie proste równoległe:
\(\frac{x}{7}= \frac{y+2}{3}= \frac{z-1}{5}
\frac{x-1}{7}= \frac{y-3}{3}= \frac{z+2}{5}\)


4. Prostą
\(\begin{cases}4x-3y+z-3=0\\ 2x+3y+z-6=0\end{cases}\)
zapisać w postaci kierunkowej i parametrycznej.

5. Wyznaczyć odległość między płaszczyznami równoległymi \(\pi1\): 11x-2y-10z+20=0 oraz \(\pi2\): 11x-2y-10z+65=0

6. Znaleźć punkt wspólny prostej
L: \(\begin{cases}x-y=0\\x+y-z-1=0\end{cases}\)
i płaszczyzny \(\pi\) : 5x + 2y – 3z – 3 = 0.
radagast
Guru
Guru
Posty: 17549
Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
Lokalizacja: Warszawa
Podziękowania: 41 razy
Otrzymane podziękowania: 7435 razy
Płeć:

Post autor: radagast »

1.
Na początek wyznaczmy wektor \(\vec{w}\) prostopadły do szukanej płaszczycny:
\(\vec{w}= \vec{u} \times \vec{v}= {[10,-4,6]} \parallel {[5,-2,3]}\)
Szukana płaszczyzna ma więc równanie \(5x-2y+3z+D=0\).
Płaszczyzna przechodzi przez punkt (1,2,1) zatem \(5-4+3=-D\), \(D=-4\)
odp: Równanie płaszczyzny to \(5x-2y+3z-4=0\).
radagast
Guru
Guru
Posty: 17549
Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
Lokalizacja: Warszawa
Podziękowania: 41 razy
Otrzymane podziękowania: 7435 razy
Płeć:

Post autor: radagast »

2.
Kierunkowej nie umiem (moim zdaniem to prosta w przestrzeni nie ma równania kierunkowego... ale może coś źle wiem)
parametryczną umiem:
A=(3,-2,1); B=(1,1,5) zatem \(\vec{AB}=[-2,3,4]= \alpha\)
równanie parametryczne prostej to \(p(t)= \alpha t+A\) stąd
odp: \(p(t)=(-2t+1,3t+1,4t+5)\)
matej_mlody
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 7
Rejestracja: 16 sty 2011, 18:12
Podziękowania: 2 razy

Post autor: matej_mlody »

Jeśli chodzi o te pierwsze zadanko to skąd się wzięło \(\left[ 10,-4, 6\right]\) ?
matej_mlody
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 7
Rejestracja: 16 sty 2011, 18:12
Podziękowania: 2 razy

Post autor: matej_mlody »

Chciałem edytować post ale chyba nie ma takiej opcji czyli zatem skąd się wzięło (jak obliczyć) to \(\left[10, -4, 6 \right]\)oraz \(\left[5, -2, 3 \right]\)?
radagast
Guru
Guru
Posty: 17549
Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
Lokalizacja: Warszawa
Podziękowania: 41 razy
Otrzymane podziękowania: 7435 razy
Płeć:

Post autor: radagast »

Moj nauczyciel nazywał to "metodą paluszkową"
1, zapisz jeden wektor pod drugim
2, w celu wyznaczenia wspólrzędnej x, zakryj kolumne x (paluszkiem) i policz wyznacznik tego co zostało.
3, w celu wyznaczenia wspólrzędnej y, zakryj kolumne y (paluszkiem) i policz wyznacznik tego co zostało, a potem pomnóż to przez -1
4, w celu wyznaczenia wspólrzędnej z, zakryj kolumne z (paluszkiem) i policz wyznacznik tego co zostało.

To co wyszło to iloczyn wektorowy tych dwóch wektorów czyli wektor prostopadły do nich obu, o długości takiej jak pole równoległoboku na nich rozpietego (z dokładnościa do jednostki). Wiem że to nie jest proste :? (wymaga ciut wysiłku i treningu)
matej_mlody
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 7
Rejestracja: 16 sty 2011, 18:12
Podziękowania: 2 razy

Post autor: matej_mlody »

Okej ja spróbuje sam to jeszcze ogarnąć bo w stresie przy tablicy nie będę widział palców :) ale dzięki wielkie
matej_mlody
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 7
Rejestracja: 16 sty 2011, 18:12
Podziękowania: 2 razy

Post autor: matej_mlody »

Już znalazłem znajomą, która mi zrobi i wytłumaczy te zadania ! zatem dziękuje za zainteresowanie i reszty nie trzeba już robić ! temat można zamknąć. pozdrawiam
radagast
Guru
Guru
Posty: 17549
Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
Lokalizacja: Warszawa
Podziękowania: 41 razy
Otrzymane podziękowania: 7435 razy
Płeć:

Post autor: radagast »

3.
Tu jestem trochę niedouczona więc będzie naokoło:
Pierwsza prosta przechodzi przez punkty A=(0,-2,a) B=(b,-2,1) (przez wiele innych też ale akurat te mi się udało "wyłapać")
Druga prosta przechodzi przez punkty C=(1,3,c) D=(d,3,-2) (przez wiele innych też ale akurat te mi się udało "wyłapać")
\(\vec{AB}=[b,0,1-a]\)
\(\vec{CD}=[d-1,0,-2-c]\)
\(\vec{AB} \parallel \vec{CD} \Leftrightarrow \frac{b}{d-1}= \frac{1-a}{-2-c}\)
No to niech b=1,a=0,d=2,c=3 . Wówczas A=(0,-2,0); B=(1,-2,1); C=(1,3,-3); D=(2,3,-2)
\(\vec{AB} = [1,0,1]\)
\(\vec{AC} = [1,5,-3]\)
i teraz tak jak w zadaniu 1.:
\(\vec{AB} \times \vec{AC}=[-5,4,5]\)
Płaszczyzna ma równanie \(-5x+4y+5z+D=0\) , ponieważ przechodzi przez punkt A=(0,-2,0) to \(D=8\)
odp. Szukane równanie to \(-5x+4y+5z+8=0\)

To się na pewno da jakoś prościej ale nie wiem jak , no i mogłam się pomylić w rachunkach. Prześledź to i jeśli czegoś nie rozumiesz pytaj.
A ! "metoda paluszkowa" przy tablicy powinna się nazywać "metoda rączkowa" (paluszk to za mało)
matej_mlody
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 7
Rejestracja: 16 sty 2011, 18:12
Podziękowania: 2 razy

Post autor: matej_mlody »

3, w celu wyznaczenia wspólrzędnej y, zakryj kolumne y (paluszkiem) i policz wyznacznik tego co zostało, a potem pomnóż to przez -1
A jeśli chodzi o ten punkt to dlaczego trzeba policzyć przez -1 ? jest do tego wzór? jeśli tak to proszę napisz jaki :)
radagast
Guru
Guru
Posty: 17549
Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
Lokalizacja: Warszawa
Podziękowania: 41 razy
Otrzymane podziękowania: 7435 razy
Płeć:

Post autor: radagast »

Raczej należy to traktować jako regułę mnemotechniczną. To pewnie jest do udowodnienia , że tak jest ... Jeśli Ci na prawdę zależy to pomyślę nad dowodem ale chyba nie będzie łatwo...
matej_mlody
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 7
Rejestracja: 16 sty 2011, 18:12
Podziękowania: 2 razy

Post autor: matej_mlody »

Nie no już zauważyłem, że we wszystkich zadaniach tego typu tak jest :) wydaje mi się, że coś źle zrobiłaś w tych zadaniach ale i tak dzięki wielkie za pomoc
radagast
Guru
Guru
Posty: 17549
Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
Lokalizacja: Warszawa
Podziękowania: 41 razy
Otrzymane podziękowania: 7435 razy
Płeć:

Post autor: radagast »

Ja się niestety dość często mylę w rachnkach. Jeśli coś Ci się nie zgadza to pytaj. Będziemy korygować. Zasada postępowania , z całąpewnością, jest poprawna, chociaż, tak jak pisałam , w zadaniu 3 przypuszczalnie nie najprostsza
ODPOWIEDZ