liczby zespolone

anetaaneta1 · Post autor: **anetaaneta1** » 09 sty 2011, 12:34

Korzystając ze wzoru Moivre'a na potęgowanie liczby zespolonej wyraź
a) cos6x
b) sin7x
za pomocą sinx i cosx

Z góry dzięki

irena · Post autor: **irena** » 09 sty 2011, 20:10

a)
\(cos6x+i\ sin6x=(cosx+i\ sinx)^6=cos^6x+6cos^5x\cdot\ i\ sinx+15cos^4x\cdot\ i^2\ sin^2x+\\+20cos^3x\cdot\ i^3\ sin^3x+15cos^2x\cdot\ i^4\ sin^4x+6cosx\cdot\ i^5\ sin^5x+i^6\ sin^6x=\\=cos^6x+6i\ cos^5x\ sinx-15cos^4x\ sin^2x-20i\ cos^3x\ sin^3x+\\+15cos^2x\ sin^4x+6i\ cosx\ sin^5x-sin^6x=\\=(cos^6x-15cos^4x\ sin^2x+15cos^2x\ sin^4x-sin^6x)+\\+i(6cos^5x\ sinx-20cos^3x\ sin^3x+6cosx\ sin^5x)\)

\(cos6x=cos^6x-15cos^4x\ sin^2x+15cos^2x\ sin^4x-sin^6x\)

irena · Post autor: **irena** » 09 sty 2011, 20:27

b)
\(cos7x+i\ sin7x=(cosx+i\ sinx)^7=\\=cos^7x+7cos^6x\cdot\ i\ sinx+21cos^5x\cdot\ i^2\ sin^2x+35cos^4x\cdot\ i^3\ sin^3x+\\+35cos^3x\cdot\ i^4\ sin^4x+21cos^2x\cdot\ i^5\ sin^5x+7cosx\cdot\ i^6\ sin^6x+i^7\ sin^7x=\\=cos^7x+7i\ cos^6x\ sinx-21cos^5x\ sin^2x-35i\ cos^4x\ sin^3x+35cos^3x\ sin^4x+\\+21i\ cos^2x\ sin^5x-7cosx\ sin^6x-i\ sin^7x=\\=(cos^7x-21cos^5x\ sin^2x+35cos^3x\ sin^4x-7cosx\ sin^6x)+\\+i(7cos^6x\ sinx-35cos^4x\ sin^3x+21cos^2x\ sin^5x-sin^7x)\)

\(sin7x=7cos^6x\ sinx-35cos^4x\ sin^3x+21cos^2x\ sin^5x-sin^7x\)

anetaaneta1 · Post autor: **anetaaneta1** » 09 sty 2011, 22:06

WIELKIE DZIEKI

bo wyszło dobrze tylko w a się nie zgadza bo w odpowiedzi mam c
cos6x= cos (5)x -10cos(3)x sin(2)x + 5 cosxsin(4)x

sorki że tak niewyraźnie ale nie dało sie napisać inaczej cos(5)x oznacza że cosx podniesiony do potęgi 5

anetaaneta1 · Post autor: **anetaaneta1** » 09 sty 2011, 22:35

a już sie zgadza bo sprawdzałam dla cos5x i właśnie wychodzi to co miało wyjść dla cos6x czyli pewnie się pomylili albo w odpowiedzi albo w treści zadania. Jeszcze raz wielkie dzięki

irena · Post autor: **irena** » 09 sty 2011, 23:11

No, ja też doszłam, że to, co napisałaś, to cos 5x, a nie cos 6x.