Algebra - Wektory i Liczby Zespolone

[karis2010]

Bardzo proszę o pomoc w rozwiązaniu poniższych zadań. Z góry wszystkim dziękuję za wszelką pomoc i pozdrawiam.

Zad. 1

Wykazać, że jeśli v1,...,vn jest układem liniowo niezależnym w przestrzeni wektorowej V, to dla każdego k<n układ v1,...,vk jest liniowo niezależny.

Zad. 2

Wykazać, że jeśli u, v, w jest bazą przestrzeni liniowej V i wektor x należący do V nie jest kombinacją liniową wektorów u, v to układ u, v, x też jest bazą przestrzeni liniowej V.

Zad. 3

Zbadać liniową niezależność wektorów:
v1=(1/2, 1, 0, 0), v2=(1, 0, -1, 0), v3=(1, 0, 0, 1)
i wykazać, że są one bazą przestrzeni L={ v=(v1, v2, v3, v4) z R^4 : 2v1-v2+2v3-2v4=0}.

Zad. 4

Wykazać, że zbiór macierzy kwadratowych stopnia 3 i symetrycznych jest podprzestrzenią liniową w przestrzeni macierzy kwadratowych stopnia 3.

Zad. 5

Wyznaczyć część rzeczywistą i urojoną liczb:
a) -3(1+i)+4(1-i)+2(1+2i)^2
b) (-1+2i)+(2-3i)^4

Zad. 6

a) Zapisać w postaci trygonometrycznej liczbę: 3-(3^1/2)i
b) Zapisać w postaci kartezjańskiej liczbę: 2(cos(3pi/4)+isin(3pi/4))

Zad. 7

Dla z = [i((3^1/2)-1)-((3^1/2)+1)]/(1+i)
obliczyć
a) z^1/2
b) (-z)^1/2
c) z^1/3

Zad. 8

Wyrazić każdą z funkcji cos2x, cos3x, cos4x w postaci wielomianu względem funkcji cos x (wskazówka - użyć wzoru de Moivre'a).

zad. 9

Obliczyć wszystkie wartości:
a) (8i)^1/3
b) (-16)^1/4

Zad. 10

Określić geometrycznie, jakim podzbiorem płaszczyzny zespolonej jest podany zbiór:
a) { z należące do C: Im z > 0}
b) {z należące do C: Im - iz > 0}
c) wartość bezwzględna z liczby (z-2i)=2
d) wartość bezwzględna z liczby (z/z sprzężone)=1

Zad. 11

Dla jakich z należących do C zachodzi równość:
a) z^2=(moduł z)^2
b) moduł (z^2)=(moduł z)^2