Wzory Viete'a

[Taotao2]

Czy ktoś może mi wytłumaczyć skąd wynikają wzory Viete'a dla równania trzeciego stopnia?

[eresh]

Czy ktoś może mi wytłumaczyć skąd wynikają wzory viete'a dla równania trzeciego stopnia?

\(ax^3+bx^2+cx+d=a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)\\
ax^3+bx^2+cx+d=a(x-x_1)(x^2-xx_3-xx_2+x_2x_3)\\
ax^3+bx^2+cx+d=a(x-x_1)(x^2-x(x_2+x_3)+x_2x_3)\\
ax^3+bx^2+cx+d=a(x^3-x^2(x_2+x_3)+xx_2x_3-x^2x_1+xx_1(x_2+x_3)-x_1x_2x_3)\\\)
\(ax^3+bx^2+cx+d=ax^3+ax^2(-x_2-x_3-x_1)+ax(x_2x_3+x_1x_2+x_1x_3)-ax_1 x_2x_3)\\\)
\(x_1+x_2+x_3=\frac{b}{-a}\\
x_2x_3+x_1x_2+x_1x_3=\frac{c}{a}\\
x_1x_2x_3=\frac{d}{-a}\)

[nijak]

Przypadek ogólny:
\(\begin{cases}
x_1 + x_2 + \dots + x_{n-1} + x_n = \tfrac{-a_{n-1}}{a_n} \\
x_1 x_2 + \dots + x_1 x_n + x_2 x_3 + \dots + x_2 x_n + \dots + x_{n-1} x_n = \tfrac{a_{n-2}}{a_n} \\
\vdots \\ x_1 x_2 \dots x_n = (-1)^n \tfrac{a_0}{a_n}
\end{cases}
\)

Lecz coś na twoim poziomie:
Zał: \(a \neq 0\)
\[w(x)=ax^3+bx^2+cx+d=a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)\]
\[w(x)=a(x^2-x_2\cdot x- x_1\cdot x +x_1x_2)(x-x_3)=a[x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2](x-x_3)=\]
\[=a[x^3-(x_1+x_2+x_3)\cdot x^2+(x_1x_3+x_2x_3+x_1x_2)\cdot x -x_1x_2x_3]=\]
\[=ax^3-a(x_1+x_2+x_3)\cdot x^2+ a(x_1x_3+x_2x_3+x_1x_2)\cdot x -ax_1x_2x_3\]

Porównując współczynniki przy odpowiednich potęgach zmiennej \(x\) powyższego wielomianu z wielomianem \(w(x)=ax^3+bx^2+cx+d\) otrzymujemy:
\[-a(x_1+x_2+x_3)=b\]
\[x_1+x_2+x_3=- \frac{b}{a} \]
oraz
\[a(x_1x_3+x_2x_3+x_1x_2)=c\]
\[x_1x_3+x_2x_3+x_1x_2= \frac{c}{a} \]
oraz
\[-ax_1x_2x_3=d\]
\[x_1x_2x_3=- \frac{d}{a} \]

Pozdrawiam

[edit] eresh nie widziałem twojego rozwiązania i się nim nie sugerowałem jest prawie identyczne no ale zadający to pytanie ma teraz szerokie spektrum odpowiedzi