Wzory Viete'a

Algebra liniowa, algebra, wektory, liczby zespolone
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Taotao2
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 51
Rejestracja: 09 lut 2023, 21:30
Podziękowania: 46 razy

Wzory Viete'a

Post autor: Taotao2 »

Czy ktoś może mi wytłumaczyć skąd wynikają wzory Viete'a dla równania trzeciego stopnia?
Ostatnio zmieniony 18 mar 2023, 18:12 przez Jerry, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa tematu i wiadomości: nazwiska piszemy wielka literą
Awatar użytkownika
eresh
Guru
Guru
Posty: 16825
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Podziękowania: 6 razy
Otrzymane podziękowania: 10381 razy
Płeć:

Re: Pomoc.

Post autor: eresh »

Taotao2 pisze: 18 mar 2023, 17:52 Czy ktoś może mi wytłumaczyć skąd wynikają wzory viete'a dla równania trzeciego stopnia?
\(ax^3+bx^2+cx+d=a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)\\
ax^3+bx^2+cx+d=a(x-x_1)(x^2-xx_3-xx_2+x_2x_3)\\
ax^3+bx^2+cx+d=a(x-x_1)(x^2-x(x_2+x_3)+x_2x_3)\\
ax^3+bx^2+cx+d=a(x^3-x^2(x_2+x_3)+xx_2x_3-x^2x_1+xx_1(x_2+x_3)-x_1x_2x_3)\\\)

\(ax^3+bx^2+cx+d=ax^3+ax^2(-x_2-x_3-x_1)+ax(x_2x_3+x_1x_2+x_1x_3)-ax_1 x_2x_3)\\\)
\(x_1+x_2+x_3=\frac{b}{-a}\\
x_2x_3+x_1x_2+x_1x_3=\frac{c}{a}\\
x_1x_2x_3=\frac{d}{-a}\)
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę 👍
Awatar użytkownika
nijak
Czasem tu bywam
Czasem tu bywam
Posty: 121
Rejestracja: 09 lis 2021, 11:17
Lokalizacja: 53°7'24"N 23°5'11"E
Podziękowania: 40 razy
Otrzymane podziękowania: 31 razy
Płeć:

Re: Pomoc.

Post autor: nijak »

Przypadek ogólny:
\(\begin{cases}
x_1 + x_2 + \dots + x_{n-1} + x_n = \tfrac{-a_{n-1}}{a_n} \\
x_1 x_2 + \dots + x_1 x_n + x_2 x_3 + \dots + x_2 x_n + \dots + x_{n-1} x_n = \tfrac{a_{n-2}}{a_n} \\
\vdots \\ x_1 x_2 \dots x_n = (-1)^n \tfrac{a_0}{a_n}
\end{cases}
\)


Lecz coś na twoim poziomie:
Zał: \(a \neq 0\)
\[w(x)=ax^3+bx^2+cx+d=a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)\]
\[w(x)=a(x^2-x_2\cdot x- x_1\cdot x +x_1x_2)(x-x_3)=a[x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2](x-x_3)=\]
\[=a[x^3-(x_1+x_2+x_3)\cdot x^2+(x_1x_3+x_2x_3+x_1x_2)\cdot x -x_1x_2x_3]=\]
\[=ax^3-a(x_1+x_2+x_3)\cdot x^2+ a(x_1x_3+x_2x_3+x_1x_2)\cdot x -ax_1x_2x_3\]

Porównując współczynniki przy odpowiednich potęgach zmiennej \(x\) powyższego wielomianu z wielomianem \(w(x)=ax^3+bx^2+cx+d\) otrzymujemy:
\[-a(x_1+x_2+x_3)=b\]
\[x_1+x_2+x_3=- \frac{b}{a} \]
oraz
\[a(x_1x_3+x_2x_3+x_1x_2)=c\]
\[x_1x_3+x_2x_3+x_1x_2= \frac{c}{a} \]
oraz
\[-ax_1x_2x_3=d\]
\[x_1x_2x_3=- \frac{d}{a} \]

Pozdrawiam

[edit] eresh nie widziałem twojego rozwiązania i się nim nie sugerowałem jest prawie identyczne no ale zadający to pytanie ma teraz szerokie spektrum odpowiedzi :wink:
Jeśli doceniasz pracę autora tego rozwiązania, to podziękuj mu zostawiając 👍.

\(e^{i\pi}+1=0\)