Zadanie z liczb zespolonych

Algebra liniowa, algebra, wektory, liczby zespolone
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
curaposterior
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 2
Rejestracja: 31 sty 2021, 18:21
Podziękowania: 3 razy
Płeć:

Zadanie z liczb zespolonych

Post autor: curaposterior » 16 paź 2021, 13:25

Na płaszczyźnie zespolonej zaznacz wszystkie liczby zespolone z, których moduł jest liczbą całkowitą i dla których liczba z 2 + (1 + i)z jest czysto urojona.

Awatar użytkownika
szw1710
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 632
Rejestracja: 04 sty 2020, 13:47
Lokalizacja: Cieszyn
Podziękowania: 3 razy
Otrzymane podziękowania: 202 razy
Płeć:

Re: Zadanie z liczb zespolonych

Post autor: szw1710 » 16 paź 2021, 13:50

Oznacz \(z=x+yi\) i zapisz części rzeczywistą i urojoną liczby \(2+(1+i)z=2+(1+i)(x+yi)\). Otrzymasz stąd pewną zależność na \(x,y\). Potem jeszcze połącz to z warunkiem \(|z|=\sqrt{x^2+y^2}\in\mathbb{Z}.\)
Oglądaj moją playlistę Matura rozgrzewka.

Icanseepeace
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 250
Rejestracja: 03 kwie 2021, 21:36
Podziękowania: 6 razy
Otrzymane podziękowania: 140 razy
Płeć:

Re: Zadanie z liczb zespolonych

Post autor: Icanseepeace » 17 paź 2021, 14:25

panb pisze:
17 paź 2021, 14:05
Szukamy innych liczb x, dla których \(2x^2+4x+4=c^2,\,\, c\in\zz\)
Zauważmy, że x nie może być liczbą niewymierną, bo wtedy lewa strona powyższej równości byłaby liczbą niewymierną i nie mogłaby być kwadratem żadnej liczby całkowitej.
\( x = -1 \pm \sqrt{7} \)
Przecinasz wykres funkcji kwadratowej prostymi poziomymi a następnie zliczasz ilość takich przecięć.
Łatwo zobaczyć, że będzie ich nieskończoność.

Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 5052
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Podziękowania: 17 razy
Otrzymane podziękowania: 2012 razy
Płeć:

Re: Zadanie z liczb zespolonych

Post autor: panb » 17 paź 2021, 15:51

Masz rację. Może chodziło o całkowite iksy, ale w treści tego nie ma.