Sprawdzić kongruentność macierzy

Algebra liniowa, algebra, wektory, liczby zespolone
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
paskulina7
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 38
Rejestracja: 05 lis 2016, 13:06
Podziękowania: 22 razy
Otrzymane podziękowania: 1 raz
Płeć:

Sprawdzić kongruentność macierzy

Post autor: paskulina7 » 03 maja 2021, 20:24

Proszę o wytłumaczenie jak zrobić takie zadanie.
Sprawdzić kongruentność macierzy:
\( \begin{bmatrix}0 & 2\\ 1& 0 \end{bmatrix} \) oraz \( \begin{bmatrix} 0 & 4\\1& 6 \end{bmatrix} \)

Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 4773
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Podziękowania: 14 razy
Otrzymane podziękowania: 1873 razy
Płeć:

Re: Sprawdzić kongruentność macierzy

Post autor: panb » 04 maja 2021, 01:38

paskulina7 pisze:
03 maja 2021, 20:24
Proszę o wytłumaczenie jak zrobić takie zadanie.
Sprawdzić kongruentność macierzy:
\( \begin{bmatrix}0 & 2\\ 1& 0 \end{bmatrix} \) oraz \( \begin{bmatrix} 0 & 4\\1& 6 \end{bmatrix} \)
\(P= \begin{bmatrix} a&b\\c&d\end{bmatrix}, \,\,\,P^T= \begin{bmatrix} a&c\\b&d\end{bmatrix} \)
Trzeba sprawdzić czy istnieje taka macierz P, że spełniony jest warunek \(P^T\begin{bmatrix}0 & 2\\ 1& 0 \end{bmatrix}P=\begin{bmatrix} 0 & 4\\1& 6 \end{bmatrix}\)
\(P^T \cdot \begin{bmatrix}0&2\\1&0 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} a&c\\b&d\end{bmatrix} \cdot\begin{bmatrix}0&2\\1&0 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}c&2a\\d&2b \end{bmatrix} \\
\begin{bmatrix}c&2a\\d&2b \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a&b\\c&d\end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 3ac&bc+2ad\\ad+2bc&3bd\end{bmatrix} \\
\begin{bmatrix} 3ac&bc+2ad\\ad+2bc&3bd\end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 0 & 4\\1& 6 \end{bmatrix}
\)


Jeżeli istnieją takie a, b, c, d, które spełniają tę ostatnią równość, to macierze są kongruentne.
To jest nietrudny układ 4 równań z czterema niewiadomymi.
Mi wychodzi, że nie ma rozwiązania, co by znaczyło, że macierze nie są kongruentne, ale sprawdź.