znajdź rzut prostej na płaszczyznę

[we4rpl]

Znajdź rzut prostej \(x = y = z\) na płaszczyznę \(x + y - z = 0\)
Mółby, ktoś coś takiego zrobić jako przykład, żebym zrozumiał od czego to jest zależne? Z góry dziękuję.

[Jerry]

Rozpatrzmy np. punkt \(A(3,3,3)\) należący do danej prostej i poprowadźmy przez niego prostą \(l\) prostopadłą do danej płaszczyzny: \(l\colon \begin{cases} x=3+t\\ y=3+t \\ z=3-t\end{cases}\wedge t\in\rr \). Rzutem prostokątnym punktu \(A\) będzie \(A'\) taki, że
\((3+t) + (3+t) - (3-t) = 0\iff t=-1\)
Czyli \(A'\left(2,2,4\right)\).
Ponieważ \((0,0,0)\) należy do danej prostej oraz danej płaszczyzny, to wystarczy poprowadzić prostą przez \(O\) i \(A'\):
\( \begin{cases}x=0+2t\\ y=0+2t\\ z=0+4t \end{cases}\wedge t\in\rr \)

Pozdrawiam

[Jerry]

Przyszło mi teraz do głowy ogólniejsze rozwiązanie, niesprzeczne z poprzednim:
Rozpatrzmy punkt \(A(t,t,t)\) należący do danej prostej i poprowadźmy przez niego prostą \(l\) prostopadłą do danej płaszczyzny: \(l\colon \begin{cases} x=t+k\\ y=t+k \\ z=t-k\end{cases}\wedge k\in\rr \). Rzutem prostokątnym punktu \(A\) będzie \(A'\) taki, że
\((t+k) + (t+k) - (t-k) = 0\iff t=-3k\)
Czyli \(A'\left(-2k,-2k,-4k\right)\).
Ostatecznie prosta ma postać
\( \begin{cases}x=-2k\\ y=-2k\\ z=-4k \end{cases}\wedge k\in\rr \)

Pozdrawiam