Korzystając z definicji pierwiastka kwadratowego wyznacz pierwiastki z liczb zespolonych

[Adrian47]

Tak jak w temacie, z wykorzystaniem definicji:

• \(z_1 = 3i\)

• \(z_2 = -16\)

• \(z_3 = 2 + 4i\)

[korki_fizyka]

https://www.youtube.com/watch?v=XrQXL5hhrv8
https://obliczone.pl/kalkulatory/870-pi ... k-po-kroku

[radagast]

A ja się pobawię :

• \(z_1 = 3i\)

niech \( \sqrt{z_1}=\sqrt{3i} = x+iy, x,y \in R\)
oznacza to (na podstawie definicji pierwiastka kwadratowego),że \( \left( x+iy\right) ^2=3i\)
czyli \(x^2-y^2+2xyi=3i\)
czyli \( \begin{cases} x^2-y^2=0\\2xy=3\end{cases} \)
czyli \( \begin{cases} |x|=|y|\\xy= \frac{3}{2} \end{cases} \)
czyli \( \begin{cases} x= \sqrt{\frac{3}{2} } \\y= \sqrt{\frac{3}{2} } \end{cases} lub \begin{cases} x= -\sqrt{\frac{3}{2} } \\y= -\sqrt{\frac{3}{2} } \end{cases} \)
czyli \( \begin{cases} x= \frac{ \sqrt{6} }{2} \\y= \frac{ \sqrt{6} }{2} \end{cases} lub \begin{cases} x= - \frac{ \sqrt{6} }{2} \\y= - \frac{ \sqrt{6} }{2} \end{cases} \)
pierwiastkami \(z_1\) są liczby \( \frac{ \sqrt{6} }{2}+i \frac{ \sqrt{6} }{2}\) oraz \( -\frac{ \sqrt{6} }{2}-i \frac{ \sqrt{6} }{2}\)