ciało

[Kowal1998]

Na zbiorze \( \rr \) zadajemy działania \( +_1,*_1, \rr x \rr \to \rr \) określone wzorami \( a +_1b = a + b + 1\) oraz \( a*_1b = ab + a + b \) dla dowolnych \( a,b \in \rr. Pokaż,ze (\rr,+_1,*_1) \) tworzą ciało (izomorficzne z \(\rr) \).

[grdv10]

Zwyczajnie sprawdź wszystkie aksjomaty ciała. Rozpocznij od wyznaczenia elementów neutralnych dodawania i mnożenia. No i sprawdzaj po kolei: łączność dodawania i mnożenia, przemienność dodawania i mnożenia, wyznacz elementy przeciwny (dodawanie) oraz odwrotny (mnożenie). Prawo rozdzielności mnożenia względem dodawania łączy ze soba oba działania. Oczywiście też sprawdź, że ono zachodzi.

Element neutralny dodawania: \(a+b+1=a\iff b=−1\). Tak więc elementem neutralnym dodawania \(+_1\) jest \(−1\).

Wzoru na funkcje ustalającą izomorfizm obu ciał szukaj wśród funkcji liniowych.