Jądro i obraz przekształcenia liniowego

Algebra liniowa, algebra, wektory, liczby zespolone
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
kuba93p3
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 2
Rejestracja: 09 lut 2020, 21:09
Podziękowania: 2 razy
Płeć:

Jądro i obraz przekształcenia liniowego

Post autor: kuba93p3 » 09 lut 2020, 21:19

Witam, szukam łatwego sposobu na obliczanie jądra i obrazu przekształcenia liniowego.
znalazłem coś takiego: https://matematyka.pl/viewtopic.php?t=11182#p52850
niestety gdy próbuje znaleźć jądro i obraz tym sposobem dla przekształcenia f : R^3 →R^3, f (x,y,z) = (x −y,y −z,0)
to wychodzi mi dobre jądro ale obraz już nie. wyniki jakie mi wychodzą to ker f= lim{(1,1,1)} a im f={(1,0,0),(0,1,0)}
prawidłowe wyniki to:
ker f= lim{(1,1,1)}
im f={(1,0,0),(-1,1,0)}
prosze o pomoc

Awatar użytkownika
szw1710
Często tu bywam
Często tu bywam
Posty: 178
Rejestracja: 04 sty 2020, 13:47
Lokalizacja: Cieszyn
Podziękowania: 1 raz
Otrzymane podziękowania: 47 razy
Płeć:

Re: Jądro i obraz przekształcenia liniowego

Post autor: szw1710 » 09 lut 2020, 21:47

Jądro jest zbiorem rozwiązań jednorodnego układu równań\[\left\{\begin{aligned}x-y&=0,\\ y-z&=0,\end{aligned}\right.\]czyli \(x=y=z\), a więc \(x=t,\ y=t,\ z=t\), więc \(\ker f=\text{lin}\{(1,1,1)\}.\) Co do obrazu, niech \(f(x,y,z)=(u,v,w).\) Dlatego mamy tu układ równań:\[\left\{\begin{aligned}x-y&=u,\\ y-z&=v,\\ 0&=w.\end{aligned}\right.\]Jest to zbiór rozwiązań układu równań liniowych. Wyznacz bazę przestrzeni rozwiązań.
Profil na e-korepetycje.net
Zapraszam też na mój blog ,,Być matematykiem''.

kuba93p3
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 2
Rejestracja: 09 lut 2020, 21:09
Podziękowania: 2 razy
Płeć:

Re: Jądro i obraz przekształcenia liniowego

Post autor: kuba93p3 » 09 lut 2020, 22:04

wyznaczanie jądra już rozumiem ale nie wiem jak wyznaczyć tą bazę przestrzeni rozwiązań, mógłbyś dokończyć obliczanie obrazu?

Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 3345
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Otrzymane podziękowania: 1146 razy
Płeć:

Re: Jądro i obraz przekształcenia liniowego

Post autor: panb » 09 lut 2020, 22:06

Mi też taki obraz wyszedł.
Z układu podanego przez @szw1710 też tak wychodzi.
Z przestrzeniami liniowymi tak bywa. Zauważ, że (1,0,0)+(-1,1,0)=(0,1,0), więc
\(lin\{(1,0,0),(-1,1,0)\}=lin\{(1,0,0),(0,1,0)\}\)

Ten sposób wyznaczania obrazu działa.

Awatar użytkownika
szw1710
Często tu bywam
Często tu bywam
Posty: 178
Rejestracja: 04 sty 2020, 13:47
Lokalizacja: Cieszyn
Podziękowania: 1 raz
Otrzymane podziękowania: 47 razy
Płeć:

Re: Jądro i obraz przekształcenia liniowego

Post autor: szw1710 » 09 lut 2020, 22:15

Można zauważyć, że\[f(x,y,z)=x(1,0,0)-y(1,1,0)-z(0,1,0),\]a te trzy wektory są liniowo zależne. Wybierz dwa liniowo niezależne są nimi np. \((1,0,0)\) oraz \((0,1,0)\), jak napisano powyżej.
Profil na e-korepetycje.net
Zapraszam też na mój blog ,,Być matematykiem''.