Trzy kulki na niciach

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
RozbrajaczZadaniowy
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 932
Rejestracja: 20 wrz 2013, 12:54
Podziękowania: 200 razy
Otrzymane podziękowania: 273 razy
Płeć:

Trzy kulki na niciach

Post autor: RozbrajaczZadaniowy » 09 kwie 2014, 23:56

Trzy kulki zawieszono swobodnie na niciach w ten sposób, że środki mas leżą na jednej prostej równoległej do podłoża. Pierwsze dwie kulki mają masę dwa razy większą od trzeciej i wszystkie wiszą na nici o długości \(l=80 [cm]\). Pierwszą kulkę wychylono z położenia równowagi o kąt \(\alpha =40 [^0]\). O jaki maksymalny kąt \(\gamma\) odchyli się po zderzeniu trzecia kula?

Panko
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 2946
Rejestracja: 20 gru 2013, 22:41
Lokalizacja: Radom
Otrzymane podziękowania: 1555 razy
Płeć:

Post autor: Panko » 10 kwie 2014, 09:59

Zrozumiałem,że \(m_1=m_2=2m_3\).
Pytają,o maksymalny kąt \(\gamma\) odchylenia trzeciej kuli, czyli powinny początkowo wisieć jak w kołysce ( wahadło ) Newtona. Gdy wiszą swobodnie to są styczne.
Załóżmy,że jako kule są przystające ( ten sam promień \(R\)) , co zapewnia ,że zderzenie kul będzie centralne ( przy tym samym \(l\) )
Przyjmuję ,że zderzenia są doskonale sprężyste czyli energia kinetyczna par kul przed i po zderzeniu jest zachowana.

Stan przed zderzeniem opisuje para prędkości :\(V_1,v_2\) , po zderzeniu odpowiednio \(U_1,u_2\)
Potrzebny jest tylko związek na \(u_2\) ( dla kuli odbijanej ( przekaźnik energii)
\(u_2=\frac{2m_1v_1+(m_2-m_1)v_2}{m_1+m_2}\)
Można go samodzielnie wyprowadzić lub ściągnąć z dowolnego podręcznika.
Kula \(m_1\) po odchyleniu o kąt \(\alpha\) ma \(\\) \(E_p=m_1q \cdot l(1- \cos \alpha )\) bo jej środek masy podskoczył od góry o \(l-l \cos \alpha\)
Zasada zachowania energii mechanicznej dla kuli \(m_1\) przed zderzeniem : \(m_1q \cdot l(1- \cos \alpha ) =\frac{m_1v_1^2}{2}\)
\(v_1= \sqrt{2l(1- \cos \alpha )q}\)
Kula \(m_2\) przed zderzeniem z \(m_1\) spoczywa czyli \(v_2=0\)
Po zderzeniu \(m_2\) ma prędkość : \(u_2= \frac{2m_1v_1+(m_2-m_1) \cdot 0}{m_1+m_2} =\frac{2m_1v_1}{m_1+m_2}=\frac{2v_1}{1+1}=v_1\)

Drugie zderzenie : Para kul \(m_2,m_3\) , przed \(v_1, v_3\) po \(u_2,u_3\)
Kula \(m_3\) po zderzeniu ma prędkość \(u_3\) , przed spoczywała czyli \(v_3=0\)

Czyli \(\\) \(u_3= u_2=\frac{2m_2v_1+(m_3-m_2)v_3}{m_2+m_3} =\frac{2m_2v_1}{m_2+m_3}=\frac{4}{3} v_1= \frac{4}{3} \sqrt{2l(1- \cos \alpha )q}\)
Kula \(m_3\) podniesie się na maksymalną wysokość : \(m_3q \cdot l(1- \cos \gamma ) =\frac{m_3u_3^2}{2}\)
Stąd \(\\) \(\cos \gamma =1-\frac{16}{9} (1- \cos \alpha )\) czyli \(\gamma =55^ \circ 40'\)
............................................................................................................
Zadanie będzie trochę ciekawsze gdy zrozumiemy,że \(m_1+m_2=2m_3\) i wprowadzimy dodatkowe ograniczenie na łączną sumę mas np \(m_1+m_2+m_3=100\) \(g\). Będzie robota dla pochodnych.

RozbrajaczZadaniowy
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 932
Rejestracja: 20 wrz 2013, 12:54
Podziękowania: 200 razy
Otrzymane podziękowania: 273 razy
Płeć:

Re: Trzy kulki na niciach

Post autor: RozbrajaczZadaniowy » 10 kwie 2014, 21:34

Dziękuję bardzo, faktycznie zadanie dosyć nieczytelne, ale wydaje mi się, że jednak chodzi o to co napisałeś. ;)