Uogólniony współczynnik dwumianowy:/

[wsl1993_]

Witam... Mam pytanie. W tym roku na maturze rozszerzonej z matmy pojawiło się zadanie "Uzasadnij, że dla każdej liczby całkowitej k liczba k^6 − 2k^4 + k^2 jest podzielna przez 36."
Niedawno pojawiły sie oficjalne klucze i przeglądając rozwiązanie tego zadania stwierdziłem, że na rozwiązanie każdego zadania jest parę sposobów i conajmniej jeden z nich to tylko np 2 linijki oblicznia i zdanie zawierające uzasadnienie czy wyjaśnienie. Więc stwierdziłem że może warto zapoznać sie z tymi "krótszymi metodami" żeby nie tracic czasu potem na maturze na rozpisywanie działań, przekształceń na całej kartce:D
Chodzi mi konkretine o to rozwiązanie które jest zakończone:
Zdający może zauważyć, że(...)
Przyznajemy wtedy 3 punkty i nie
wymagamy wyjaśnienia, że został tu użyty uogólniony współczynnik dwumianowy. Tylko jest taki problem że teraz na maturze którą będę zdawał zostało to wszystko wyrzucone z wymagań i nie bardzo czaje o co w tych działaniach chodzi.
Jeśli ktoś miałby troche cierpliwości zeby mi to wytłyumaczyć byłbym wdzięczny:D
Z góry dzięki

[Crazy Driver]

Chodzi zapewne o to:

"Zdający może zauważyć, że \(\left(k+1 \right)k \left(k-1 \right)=6 \cdot {k+1 \choose 3}\)"

To jest ten współczynnik dwumianowy: \({k+1 \choose 3}\)

Jeśli uczyłeś się już o wielomianach, to wiesz, że wielomian jednej zmiennej jest sumą iloczynów zmiennej w pewnej naturalnej potędze i liczby rzeczywistej. Ta liczba to właśnie współczynnik wielomianu.

\({n \choose k}\) symbol Newtona. Faktycznie nie ma go w dziale maturalnym "liczby i ich zbiory" tak jak kiedyś. Ale na poziomie rozszerzonym musi się pojawić przy okazji kombinatoryki i rachunku prawdopodobieństwa. Definicje i własności można łatwo znaleźć w internecie.

Symbol Newtona ma różne zastosowania. Jednym z nich jest bycie współczynnikiem dwumianu Newtona.

Dwumian Newtona: \(\left(a+b \right)^n\), gdzie \(n \in \mathbb{N}\) i \(a,b \in \mathbb{R}\)

Istnieje ogólny wzór na podniesienie wyrażenia \(a+b\) do dowolnej naturalnej potęgi. Współczynniki wielomianu, który wtedy powstaje wyrażone są właśnie poprzez odpowiednie symbole Newtona. Stąd w kluczu pojawiło się sformułowanie "współczynnik dwumianowy".

Także jeśli chcesz to lepiej zrozumieć, najpierw poczytaj o symbolu Newtona, potem o dwumianie Newtona. Potem, jeśli będziesz miał pytania, zadaj je np. tu.

Pozdrawiam.

[Galen]

\({ (k+1)\choose 3}= \frac{(k+1)!}{3! \cdot (k+1-3)!}= \frac{(k+1)!}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot (k-2)!}= \frac{(k+1)!}{6(k-2)!}= \frac{(k-1)k(k+1)}{6}\)

\({ k+1\choose3 } \in N\;\;\;\; \Rightarrow \;\;\;\;\; \frac{(k-1)k(k+1)}{6} \in N\)
To kończy dowód o podzielności iloczynu (k-1)k(k+1) przez 6.
Kwadrat tego iloczynu jest podzielny przez 36.