Pomocy - konkurs matematyczny!

[xvchillout]

1. Pole trapezu równoramiennego jest równe 20 a jego wysokość ma długość 4. Oblicz pole kwadratu zbudowanego na przekątnej tego trapezu.

2. Z przeciwległych wierzchołków prostokąta ABCD poprowadzono odcinki AE i CF prostopadłe do przekątnej. Odcinek EF, wyznaczony na tej przekątnej ma długość 1cm. Wiedząc że AE=CF=1cm oblicz pole tego prostokąta.

[kerajs]

Licząc w głowie (więc możliwe że coś pomyliłem) mam:
1. \(116\)
2. \(\sqrt{5}\)
A co to za konkurs?

[xvchillout]

Konkurs matematyczny dla 8 klas szkoły podstawowej. Dzisiaj pisałam i nie mam pojęcia jak dojść do tych dwóch odpowiedzi, w pierwszym doszłam jedynie do a+b=10 a w drugim nie mam pojęcia od czego zacząć oprócz rysunku.

[kerajs]

1. Przekątna \(d\) trapezu jest przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych \( \frac{a+b}{2} \) i \(h\). Stąd \(d^2=(\frac{a+b}{2})^2+h^2=5^2+4^2=41\) i jest to także pole szukanego kwadratu.

2. Jest taka własność w trójkącie prostokątnym: kwadrat wysokości jest równy iloczynowi odcinków przeciwprostokątnej na jakie ją podzielił spodek tej wysokości.
Stąd równanie:
\(1^2=x \cdot (1+x) \)
o jednym pierwiastku dodatnim \(x= \frac{-1+ \sqrt{5} }{2} \)
Pole prostokąta to dwa pola trójkąta o podstawie x+1+x i wysokości 1.
Stąd P\(=2 \cdot \frac{1}{2} \cdot (2 \frac{-1+ \sqrt{5} }{2} +1) \cdot 1= \sqrt{5} \)