Kwadraty

[agusiaczarna22]

1. Kwadraty ABCD i BEFG położone są tak, jak pokazano na rysunku 1. Ich boki wynoszą odpowiednio 8cm i 5cm. Uzasadnij, że pole czworokąta BGFD jest równe polu trapezu ABIH.

2. W prostokącie ABCD umieszczono prostokąt EFGH tak, jak pokazano na rysunku 2. Przekątne obu prostokątów przecinają się w tym samym punkcie S. Miary kątów CAB i CSG są równe odpowiednio 27 stopni i 18 stopni. Uzasadnij, że czworokąt EFGH jest kwadratem.

3. W kwadracie oboku 25cm umieszczono ośmiokąt o równych bokach (jak na rysunku 3). Wykaż, że pole ośmiokąta jest mniejsze niż pole trójkąta BCD, jeżeli długość odcinka AB jest równa 3cm.
[Załącznik]

[radagast]

1. Kwadraty ABCD i BEFG położone są tak, jak pokazano na rysunku 1. Ich boki wynoszą odpowiednio 8cm i 5cm. Uzasadnij, że pole czworokąta BGFD jest równe polu trapezu ABIH.

ScreenHunter_539.jpg (6.66 KiB) Przejrzano 2854 razy

\(P_{ABIH}=P_{ABGH}-P_{BGI}=5 \cdot 8- \frac{5 \cdot 5}{2}=27,5\)
\(P_{BGFD}=P_{IFD}+P_{BGI}= \frac{10 \cdot 3}{2} + \frac{5 \cdot 5}{2}=27,5\)

[radagast]

2. W prostokącie ABCD umieszczono prostokąt EFGH tak, jak pokazano na rysunku 2. Przekątne obu prostokątów przecinają się w tym samym punkcie S. Miary kątów CAB i CSG są równe odpowiednio 27 stopni i 18 stopni. Uzasadnij, że czworokąt EFGH jest kwadratem.

\(| \angle CAB|=| \angle ACD|\) - jako naprzemianległe.
Z twierdzenia o kącie zewnętrznym zastosowanym do trójkąta SCG mamy \(| \angle SGH|=| \angle CSG|+| \angle ACD|=27+18=45\).
Przekątna prostokąta EFGH jest nachylona do boku pod kątem 45 , a więc jest to kwadrat.
cbdo

[radagast]

3. W kwadracie oboku 25cm umieszczono ośmiokąt o równych bokach (jak na rysunku 3). Wykaż, że pole ośmiokąta jest mniejsze niż pole trójkąta BCD, jeżeli długość odcinka AB jest równa 3cm.

To zadanie jest troszkę źle sformułowane. Powinno być: (...) wtedy i tylko wtedy gdy długość odcinka AB jest mniejsza niż 5 cm.
A rozwiązanie łatwiutkie (wystarczy policzyć).
\(P_8\) pole ośmiokąta
\(P_3\) pole trójkąta BCD
\(P_8=25^2-4 \cdot P_3\)
\(P_8<P_3 \iff 25^2-4 \cdot P_3<P_3 \iff 25^2<5 \cdot P_3 \iff 125< P_3 \iff 125< \frac{25 \cdot \frac{25-|AB|}{2} }{2} \iff \\
5< \frac{25-|AB|}{4} \iff |AB|<5\)