trapez

[inter]

Dany jest trapez ABCD o podstawach AB oraz CD. Niech AB=a, BC=b, CD=c, DA=d, AC=m oraz BD=n.
Wiemy że \(m^2+n^2=(a+c)^2\). Wykaż że \(ac<bd.\)

[Panko]

Przyjmuję ,że \(c \le a\) . Co nie umniejsza ogólności
1. Uzasadniamy ,że \(\\) \(a^2 + c^2 = b^2 + d^2\)

2. Możemy powyższe od razu dostać stosując nieskomplikowaną formułę planimetryczną dla czworokąta wypukłego

\(a^2+b^2+c^2+d^2 =m^2+n^2 + 4x^2\) , \(a,b,c,d-boki\) , \(m,n-przekątne\) ,\(x\) -odcinek łączący środki przekątnych .

Wtedy dla trapezu jest \(x= \frac{a-c}{2}\)

korzystając z założenia + powyższe dla trapezu dostajemy \(\\) \(a^2 + c^2 = b^2 + d^2\)

3. Rozcinamy trapez na dwa wielokąty : równoległobok o bokach : \(d,c\) \(\\) i \(\\)trójkąt o bokach \(\\) \(d, a-c,b\) ( co gdy a=c ? )

Wystarczy z wierzchołka \(C\) narysować równoległą do boku DA .

Wtedy dla powyższego \(\Delta\) jest \((a-c)^2 = d^2+b^2 -2db \cos \phi\)

Aplikuję \(\\) \(a^2 + c^2 = b^2 + d^2\) i dostaję

\(ac=bd \cdot \cos \phi\)

ponieważ \(\phi\) ostry (dlaczego ?) to \(\cos \phi >0\) \(\\) i \(\\) \(\\) \(ac < bd\)