równoległobok, trójkąt

[Martynka301]

1. Krótsza przekątna dzieli równoległobok o kącie ostrym 45 stopni na dwa trójkąty prostokątne. Oblicz pole i obwód równoległoboku wiedząc, że dłuższy bok ma długość \(4 \sqrt{2}\)
2. W trójkącie prostokątnym ABC przeciwprostokątna AC ma długość 4 cm a kąt przy wierzchołku A ma miarę 30 stopni. Oblicz pole trójkąta DBC, gdzie D jest środkiem odcinka AC.
3. Oblicz pole i obwód koła opisanego na prostokącie, w którym bok o długości \(2 \sqrt{3}\) tworzy z przekątną kąt 30 stopni.

[eresh]

1. Krótsza przekątna dzieli równoległobok o kącie ostrym 45 stopni na dwa trójkąty prostokątne. Oblicz pole i obwód równoległoboku wiedząc, że dłuższy bok ma długość \(4 \sqrt{2}\)

przekątna podzieliła równoległobok na dwa trójkąty prostokątne równoramienne
a - dłuższy bok równoległoboku
b - krótszy bok równoległoboku
d - krótsza przekątna

\(b=d\\
b^2+d^2=a^2\\
b^2+b^2=(4\sqrt{2})^2\\
2b^2=32\\
b^2=16\\
b=4\\
O=2a+2b\\
O=2\cdot 4\sqrt{2}+2\cdot 4=8(\sqrt{2}+1)\\
d=b\\
d=4\\
P=2\cdot\frac{1}{2}bd\\
P=4\cdot 4\\
P=16\)

[eresh]

2. W trójkącie prostokątnym ABC przeciwprostokątna AC ma długość 4 cm a kąt przy wierzchołku A ma miarę 30 stopni. Oblicz pole trójkąta DBC, gdzie D jest środkiem odcinka AC.

\(|BC|=\frac{1}{2}|AC|\\
|BC|=2\)

\(|\angle ACB|=60^{\circ}\\
|BC|=|CD|=2\)
więc trójkąt BCD jest równoboczny
\(P=\frac{|BC|^2\sqrt{3}}{4}\\
P=\frac{4\sqrt{3}}{4}=\sqrt{3}\)

[eresh]

3. Oblicz pole i obwód koła opisanego na prostokącie, w którym bok o długości \(2 \sqrt{3}\) tworzy z przekątną kąt 30 stopni.

prostokąt ABCD
przekątna AC tworzy z bokiem CD (dłuższym bokiem) kąt \(30^{\circ}\), więc \(|AC|=4\)
promień koła opisanego na prostokącie jest równy połowie przekątnej
\(r=2\\
P=\pi 2^2=4\pi\\
O=2\pi r=4\pi\)