1. Na trójkącie o bokach długości \(4 \sqrt{5}\), \(4 \sqrt{5}\) i 8 cm opisano okrąg. Oblicz odległość środka okręgu od podstawy trójkąta.
2. W trapezie równoramiennym wysokość ma długość 18 cm. Przekątne trapezu przecinają się pod katem prostym i dzielą się w stosunku 4:5. Oblicz pole tego trapezu.
3. Czy w garnku o średnicy 22 cm zmieszczą się trzy słoiki o średnicy 10 cm każdy?
4. Stożek o wysokości 1 m rozcięto płaszczyzną na dwie bryły. Porównaj ich objętości, jeżeli jedna z nich jest stożkiem o wysokości 79 cm.
trapez, trójkąt, stożek
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
Martynka301
- Czasem tu bywam
- Posty: 146
- Rejestracja: 18 gru 2012, 10:45
- Podziękowania: 235 razy
- Otrzymane podziękowania: 1 raz
- Płeć:
1.
Narysuj ten trójkąt, nazwij go ABC, gdzie AB to podstawa.
Poprowadź wysokość CD na podstawę AB.
\(|CD|^2+|BD|^2=|BC|^2\\h^2+4^2=(4\sqrt{5})^2\\h^2=80-16=64\\h=8cm\)
Na wysokości CD zaznacz punkt O- środek okręgu opisanego na trójkącie (trójkąt jest ostrokątny, więc O leży wewnątrz trójkąta).
Poprowadź promień okręgu opisanego OB.
\(|CD|=8cm\\|OC|=R\\|OD|=8-R\\|OC|=R\\|BD|=4cm\)
w trójkącie prostokątnym BOD:
\((8-R)^2+4^2=R^2\\64-16R+R^2+16=R^2\\16R=80\\R=5cm\)
Szukana odległość:
\(|OD|=8-5=3cm\)
Narysuj ten trójkąt, nazwij go ABC, gdzie AB to podstawa.
Poprowadź wysokość CD na podstawę AB.
\(|CD|^2+|BD|^2=|BC|^2\\h^2+4^2=(4\sqrt{5})^2\\h^2=80-16=64\\h=8cm\)
Na wysokości CD zaznacz punkt O- środek okręgu opisanego na trójkącie (trójkąt jest ostrokątny, więc O leży wewnątrz trójkąta).
Poprowadź promień okręgu opisanego OB.
\(|CD|=8cm\\|OC|=R\\|OD|=8-R\\|OC|=R\\|BD|=4cm\)
w trójkącie prostokątnym BOD:
\((8-R)^2+4^2=R^2\\64-16R+R^2+16=R^2\\16R=80\\R=5cm\)
Szukana odległość:
\(|OD|=8-5=3cm\)
2.
Narysuj równoramienny trapez ABCD, w którym AB to dłuższa podstawa, CD- krótsza podstawa.
Poprowadź przekątne AC i BD.
P- punkt przecięcia przekątnych.
Poprowadź wysokość KL trapezu przez punkt P. (K leży na CD, L na AB).
|PK|=x
|PL|=y
\(\frac{x}{y}=\frac{4}{5}\\x=\frac{4}{5}y\\x+y=18\\\frac{4}{5}y+y=18\\\frac{9}{5}y=18\\y=10cm\\x=\frac{4}{5}\cdot10=8cm\)
Trójkąt ABP to równoramienny trójkąt prostokątny, więc:
\(|LB|=|PL|=y=10cm\\|AB|=2\cdot10=20cm\)
Podobnie w trójkącie CDP:
\(|KC|=|PK|=x=8cm\\|CD|=2\cdot8=16cm\)
Pole trapezu:
\(P=\frac{20+16}{2}\cdot18=18\cdot18=324cm^2\)
Narysuj równoramienny trapez ABCD, w którym AB to dłuższa podstawa, CD- krótsza podstawa.
Poprowadź przekątne AC i BD.
P- punkt przecięcia przekątnych.
Poprowadź wysokość KL trapezu przez punkt P. (K leży na CD, L na AB).
|PK|=x
|PL|=y
\(\frac{x}{y}=\frac{4}{5}\\x=\frac{4}{5}y\\x+y=18\\\frac{4}{5}y+y=18\\\frac{9}{5}y=18\\y=10cm\\x=\frac{4}{5}\cdot10=8cm\)
Trójkąt ABP to równoramienny trójkąt prostokątny, więc:
\(|LB|=|PL|=y=10cm\\|AB|=2\cdot10=20cm\)
Podobnie w trójkącie CDP:
\(|KC|=|PK|=x=8cm\\|CD|=2\cdot8=16cm\)
Pole trapezu:
\(P=\frac{20+16}{2}\cdot18=18\cdot18=324cm^2\)
4.
Odcięty stożek jest bryłą podobną do stożka wyjściowego.
Stosunek objętości brył podobnych jest równy sześcianowi skali podobieństwa.
1m=100cm
s- skala podobieństwa odciętego stożka do stożka wyjściowego
\(s=\frac{97}{100}\)
V- objętość wyjściowego stożka.
Objętość odciętego stożka:
\(V_1=(\frac{79}{100})^3V=\frac{493039}{1000000}V<0,5V\)
Objętość drugiej części jest więc
\(V_2>0,5V\)
większa od objętości odciętego stożka o wysokości 79cm.
Odcięty stożek jest bryłą podobną do stożka wyjściowego.
Stosunek objętości brył podobnych jest równy sześcianowi skali podobieństwa.
1m=100cm
s- skala podobieństwa odciętego stożka do stożka wyjściowego
\(s=\frac{97}{100}\)
V- objętość wyjściowego stożka.
Objętość odciętego stożka:
\(V_1=(\frac{79}{100})^3V=\frac{493039}{1000000}V<0,5V\)
Objętość drugiej części jest więc
\(V_2>0,5V\)
większa od objętości odciętego stożka o wysokości 79cm.
3.
Narysuj 3 okręgi o promieniach 5cm styczne do siebie zewnętrznie. Środki tych okręgów oznacz O, P, S.
Tworzą one trójkąt równoboczny o boku 10cm.
Punkty K, L, M to punkty styczności trzech okręgów z okręgiem, do którego wszystkie 3 są styczne wewnętrznie.
Punkty K, L, M są wierzchołkami trójkąta równobocznego.
Poprowadź wysokość MW trójkąta KLM. Na tej wysokości leży punkt S, W to środek odcinka KL, T- punkt przecięcia odcinka OP z wysokością MW.
ST to wysokość trójkąta OPS.
\(|ST|=\frac{10\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}cm\)
\(|MS|=5cm\\|MT|=(5+5\sqrt{3})cm\)
Popatrz teraz na trapez równoramienny KLPO.
TW to wysokość tego trapezu.
Poprowadź wysokość OZ trapezu KLPO.
Masz trójkąt prostokątny KZO, w którym
\(|KO|=5cm\\|\angle OKZ|=30^0\\|OZ|=\frac{1}{2}\cdot5=2,5cm\)
\(|TW|=2,5cm\\|MW|=5+5\sqrt{3}=2,5=(7,5+5\sqrt{3})cm\)
Policzę promień okręgu opisanego na trójkącie KLM (promień dużego okręgu stycznego do wszystkich trzech okręgów)
\(R=\frac{2}{3}\cdot(7,5+5\sqrt{3})=5+\frac{10\sqrt{3}}{3}\)
R to minimalny promień garnka, w którym mieszczą się te 3 słoiki.
Porównajmy R z promieniem dna garnka, czyli z 11cm
\(5+\frac{10\sqrt{3}}{3}\ \ i\ \ 11\ \ /-5\\\frac{10\sqrt{3}}{3}\ \ i\ \ 6\ \ /\cdot3\\10\sqrt{3}\ \ i\ \ 18\ \ /:10\\\sqrt{3}\ \ i\ \ 1,8\ \ /^2\\3<3,24\\\sqrt{3}<1,8\)
Stąd
\(R<11cm\)
Słoiki zmieszczą się w tym garnku.
Narysuj 3 okręgi o promieniach 5cm styczne do siebie zewnętrznie. Środki tych okręgów oznacz O, P, S.
Tworzą one trójkąt równoboczny o boku 10cm.
Punkty K, L, M to punkty styczności trzech okręgów z okręgiem, do którego wszystkie 3 są styczne wewnętrznie.
Punkty K, L, M są wierzchołkami trójkąta równobocznego.
Poprowadź wysokość MW trójkąta KLM. Na tej wysokości leży punkt S, W to środek odcinka KL, T- punkt przecięcia odcinka OP z wysokością MW.
ST to wysokość trójkąta OPS.
\(|ST|=\frac{10\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}cm\)
\(|MS|=5cm\\|MT|=(5+5\sqrt{3})cm\)
Popatrz teraz na trapez równoramienny KLPO.
TW to wysokość tego trapezu.
Poprowadź wysokość OZ trapezu KLPO.
Masz trójkąt prostokątny KZO, w którym
\(|KO|=5cm\\|\angle OKZ|=30^0\\|OZ|=\frac{1}{2}\cdot5=2,5cm\)
\(|TW|=2,5cm\\|MW|=5+5\sqrt{3}=2,5=(7,5+5\sqrt{3})cm\)
Policzę promień okręgu opisanego na trójkącie KLM (promień dużego okręgu stycznego do wszystkich trzech okręgów)
\(R=\frac{2}{3}\cdot(7,5+5\sqrt{3})=5+\frac{10\sqrt{3}}{3}\)
R to minimalny promień garnka, w którym mieszczą się te 3 słoiki.
Porównajmy R z promieniem dna garnka, czyli z 11cm
\(5+\frac{10\sqrt{3}}{3}\ \ i\ \ 11\ \ /-5\\\frac{10\sqrt{3}}{3}\ \ i\ \ 6\ \ /\cdot3\\10\sqrt{3}\ \ i\ \ 18\ \ /:10\\\sqrt{3}\ \ i\ \ 1,8\ \ /^2\\3<3,24\\\sqrt{3}<1,8\)
Stąd
\(R<11cm\)
Słoiki zmieszczą się w tym garnku.