geometria - 4 zadania na poziomie olimpiady

[trojkatABC]

Zadanie 1.
Punkt O leży wewnątrz trójkąta ABC. Udowodnij, że:
1/2 * (AB + BC + CA) < AO + BO + CO < AB + BC + CA


Zadanie 2.
W trójkącie ABC połączono wierzchołek A z dowolnym punktem D boku BC. Udowodnij, że jeśli punkt D jest środkiem boku BC trójkąta ABC, to:
2 * AD < AB + AC


Zadanie 3.
Niech punkt D, E, F będą środkami boków BC, AC i AB trójkąta ABC. Udowodnij, że:
1/2 * (AB + AC + BC) < AD + BE + CF < AB + AC + BC


Zadanie 4.
Trójkąt KLM leży wewnątrz trójkąta ABC. Udowodnij, że obwód trójkąta KLM jest mniejszy od obwodu trójkąta ABC.


Zadania z 1 klasy gimnazjum. Z góry dziękuję za odpowiedź.

[hophophophop]

1. skorzystaj z nierówności trójkąta, a+b>c
AO+OB>AB
AO+CO>CA
OC+OB>CB
sumujemy i otrzymujemy:
\(2AO+2OC+2OB>AB+CA+CB \Rightarrow \frac{1}{2}(AB+BC+CA)<AO+BO+CO\)

[hophophophop]

zadanie 4 też z nierówności trójkąta
KM<AM+AK
KL<CK+CL
LM<LB+BM
sumujemy
\(KM+KM+LM<AB+AC+CB, bo AK+KC=AC, AM+MB=AB, CL+LB=CB\)

[radagast]

Zadanie 2.
W trójkącie ABC połączono wierzchołek A z dowolnym punktem D boku BC. Udowodnij, że jeśli punkt D jest środkiem boku BC trójkąta ABC, to:
2 * AD < AB + AC

też nierówność trójkąta:

ScreenHunter_049.jpg (7.73 KiB) Przejrzano 2223 razy

AB + AC=AB+BA'>AA'=2*AD
no to 2 * AD < AB + AC
CBDO

[trojkatABC]

Dziękuje bardzo czy mógłbyś rozwiązać reszte zadań

[radagast]

Zostało Ci jeszcze tylko 3. Też nierówność trójkąta