pole i objętośc

[magda112xd]

1.Kąt rozwarcia stożka ma miarę 120 stopni, a jego wysokość 8 cm. Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość stożka.

pole powierzchni bocznej stożka jest równe 72 (pi).tworząca tego stożka jest nachylona do podstawy pod katem 60 stopni oblicz objętość stożka.

[Galen]

1)
Trójkąt prostokątny utworzony przez promień podstawy r, wysokość stożka H i tworzącą l ma kąt u góry 60 stopni.
\(tg60^o=\frac{r}{H}\;\;\;\;i\;\;\;tg60^o=\sqrt{3}\\
\frac{r}{8}=\sqrt{3}\\
r=8\sqrt{3}\)
\(H^2+r^2=l^2\\
l^2=(8\sqrt{3})^2+8^2=64\cdot 3+64=192+64=256\\
l=16\)
\(V=\frac{1}{3}\pi r^2H=\frac{1}{3}\pi \cdot 192\cdot 8=512\;cm^3\)
\(P=\pi r^2+\pi r l=\pi\cdot 192+\pi \cdot 8\sqrt{3}\cdot 16=(192+128\sqrt{3})\pi\;cm^2\)

[heja]

1.\(\frac{r}{H}=tg60^{ \circ } \to r=8 \sqrt{3}\)
\(l^{2}=H^{2}+r^{2} \to l^{2}=256 \to l=16\)

\(V= \frac{1}{3} \pi r^{2}H=512 \pi cm^{3}\)

\(P_{c}= \pi r^{2}+ \pi rl= \pi r(r+l)=8 \sqrt{3} \pi (8 \sqrt{3}+16)=64 \sqrt{3} \pi ( \sqrt{3}+2)cm^{2}\)

[Galen]

Trójkąt będący przekrojem osiowym stożka jest równoboczny.
\(2r=l\\
\pi r l=72 \pi\)
Za l podstaw 2r
\(\pi r\cdot 2r=72\pi\;/:\pi\\
2r^2=72\\
r^2=36\\
r=6\;\;\;\;\;\;to\;\;\;\;l=2r=12\)
\(H=\frac{l\sqrt{3}}{2}=\frac{12\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}\)
\(V=\frac{1}{3} \pi r^2 H=\frac{1}{3}\pi \cdot 36\cdot 6\sqrt{3}=72\sqrt{3}\pi \;cm^3\)

[heja]

2.\(\pi rl=72 \pi \to rl=72\)
\(\frac{r}{l}=cos60^{ \circ } \to \frac{r}{l}= \frac{1}{2} \to r= \frac{1}{2}l\)

\(\begin{cases}r= \frac{1}{2}l \\ rl=72 \end{cases} \to l^{2}=144 \to l=12 \to r=6\)

\(H^{2}+r^{2}=l^{2}\)
\(H^{2}=108 \to H= \sqrt{108}= \sqrt{3 \cdot 36}=6 \sqrt{3}\)

\(V= \frac{1}{3} \pi r^{2}H=72 \pi \sqrt{3}\)