Z góry dziękuję za wszelką pomoc przy tym zadaniuW trójkącie ABC poprowadzono dwusieczną AK. Wiadomo, że okręgi : wpisany w trójkąt ABK i opisany na trójkącie ABC mają wspólny środek. Znajdź kąty trójkąta ABC.
Trójkąty i okręgi.
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
kuba [6]
- Czasem tu bywam
- Posty: 136
- Rejestracja: 13 lip 2012, 18:12
- Podziękowania: 30 razy
- Otrzymane podziękowania: 52 razy
- Płeć:
Trójkąty i okręgi.
\(|\angle BAC|=\alpha\\|\angle BAK|=|\angle KAC|=\frac{\alpha}{2}\)
O- środek okręgu wpisanego w trójkąt ABK i okręgu opisanego na trójkącie ABC.
O- punkt równo odległy od A, B, C, czyli
\(|OA|=|OB|=|OC|=R\)
O- punkt przecięcia dwusiecznych kątów trójkąta ABK, czyli:
\(|\angle BAO|=|\angle OAK|=\frac{\alpha}{4}\\|\angle OAC|=\frac{3}{4}\alpha\)
Trójkąty AOB, BOC i AOC są równoramienne, więc
\(|\angle ACO|=\frac{3}{4}\alpha\\|\angle ABO|=|\angle OBC|=|\angle OCB|=\frac{\alpha}{4}\)
Stąd:
\(|\angle BAC|=\alpha\\|\angle ABC|=\frac{\alpha}{2}\\|\angle ACB|=\alpha\)
\(\alpha+\frac{\alpha}{2}+\alpha=180^0\\\frac{5}{2}\alpha=180^0\\\alpha=72^0\)
\(|\angle BAC|=|\angle ACB|=72^0\\|\angle ABC|=36^0\)
O- środek okręgu wpisanego w trójkąt ABK i okręgu opisanego na trójkącie ABC.
O- punkt równo odległy od A, B, C, czyli
\(|OA|=|OB|=|OC|=R\)
O- punkt przecięcia dwusiecznych kątów trójkąta ABK, czyli:
\(|\angle BAO|=|\angle OAK|=\frac{\alpha}{4}\\|\angle OAC|=\frac{3}{4}\alpha\)
Trójkąty AOB, BOC i AOC są równoramienne, więc
\(|\angle ACO|=\frac{3}{4}\alpha\\|\angle ABO|=|\angle OBC|=|\angle OCB|=\frac{\alpha}{4}\)
Stąd:
\(|\angle BAC|=\alpha\\|\angle ABC|=\frac{\alpha}{2}\\|\angle ACB|=\alpha\)
\(\alpha+\frac{\alpha}{2}+\alpha=180^0\\\frac{5}{2}\alpha=180^0\\\alpha=72^0\)
\(|\angle BAC|=|\angle ACB|=72^0\\|\angle ABC|=36^0\)