Dziwne i niespotykane zadanie.

[konrad131011]

Oblicz pole kwadratu przedstawionego na rysunku, mając dany promień r okręgu „wpisano – opisanego” na tym kwadracie.
Zadanie i rysunek na stronie http://www.ko.rzeszow.pl/konkursy/gim/z ... m_2012.pdf

[patryk00714]

Oznaczmy bok kwadratu jako \(a\)

z tego wynika, że czewrowne odcinki maja długość \(a-r\)

mamy tam kwadrat o bokach \(a-r\) i przekątnej \(r\)

zatem: \((a-r)\sqrt{2}=r \Rightarrow a= \frac{r(\sqrt{2}+1)}{\sqrt{2}}= \frac{r(2+\sqrt{2})}{2}\)

Mamy ten duży kwadrat podzielony na jeden mniejszy i dwa trapezy prostokątne:

Pole trapezu: \(P_t=\frac{1}{2}(a+r)(a-r)= \frac{1}{2}(a^2-r^2)= \frac{1}{2}[(\frac{r(2+\sqrt{2})}{2})^2-r^2)]\)

Pole mniejszego kwadratu: \(P_{k_m}=r^2\)

Mamy więc: \(P_k=r^2+2P_t=r^2+ \frac{r^2(4+4\sqrt{2}+2)}{4}-r^2= \frac{(6+4\sqrt{2})r^2}{4}= \frac{r^2}{4}(6+4\sqrt{2})\)

[Matematyk_64]

Hmmm.. skoro wysznaczyłeś a (bok kwadratu), to dlaczego po prostu nie podniosłeś to a do kwadratu, żeby obliczyć pole tego kwadratu?
Tak na szybko wyłazi.
\(P = (r(1+\frac{\sqrt{2}}{2} ))^2 = r^2 \left( \frac{3}{2} + \sqrt{2} \right)\)