Trapez i czworokąt

[kuba [6]]

W trapezie równoramiennym przekątne o długości \(12 cm\) przecinają się w punkcie S pod kątem \(30^ \circ\). Punkty K, L, M, N są środkami boków trapezu. Jakie jest pole czworokąta KLMN ?
Z góry dzięki za pomoc

[Matematyk_64]

Można wykazać łatwo, że Pole tego czworokąta KLMN (romb) jest równe połowie pola trapezu.
Pole trapezu zaś to\(\frac{1}{2}\cdot12^2 \cdot sin 30^o\)
Czyli 36
Ostatecznie pole rombu KLMN wynosi 18.

[Przemo10]

\(a,b\)- podstawy trapezu
\(h\)- wysokość trapezu
Z tw., talesa zauważamy że nasz czworokąt \(KLMN\) jest rombem o długości boku \(6cm\)
\(KM= \frac{a+b}{2}
LN = h\)
\(P_{trapezu}= \frac{1}{2} \left( a+b\right)h = 12^2 \cdot \sin30=72cm^2\)
\(P_{rombu}= \frac{1}{2} \cdot h \cdot \frac{a+b}{2}= \frac{1}{2} P_{trapezu}= 36 cm^2\)

[kuba [6]]

Dzięki za pomoc . Jednak czy nie dałoby się zrobić tego zadania metodami gimnazjalnymi ? Wzór ,z którego korzystacie raczej do nich nie należy.

\(P_{trapezu}= \frac{1}{2} \left( a+b\right)h = 12^2 \cdot \sin30=72cm^2\)

Nie powinno aby być \(32 cm^2\)?

[KamilWit]

36 prędzej xd
mi wychodzi 72 pole trapezu, ale to mi xD . lepiej niech ktoś inny się wypowie : P

[kuba [6]]

36 prędzej xd

Masz rację. Pomyłka.

[kuba [6]]

KamilWit, zapisz, jak liczysz. Matematyk_64 korzystał zapewne ze wzoru \(\frac{1}{2} \cdot e^2 \cdot sin \gamma\) ,gdzie \(e\)-przekątna trapezu,\(\gamma\)- kąt ostry powstały w wyniku przecięcia przekątnych trapezu. Na innym forum również ten wzór był używany.

[KamilWit]

może ktoś wyprowadzi ten wzór ?
bo dla trapezu równoramiennego specjalnie go w sieci nie widzę : P .

[radagast]

Nie bardzo to będzie gimnazjalne , bo i sama trygonomertia w gimnazjum się nie pojawia ale wyprowadzić umiem:

ScreenHunter_983.jpg (7.6 KiB) Przejrzano 3064 razy

\(P=P_{ \Delta AOD}+P_{ \Delta BCO}+P_{ \Delta ABO}+P_{ \Delta CDO}=
\frac{1}{2}de sin \alpha +\frac{1}{2}de sin \alpha+ \frac{1}{2}e^2 sin ( \pi -\alpha)+ \frac{1}{2}d^2 sin ( \pi -\alpha)=
\frac{1}{2} \cdot 2 de sin \alpha+ \frac{1}{2}e^2 sin \alpha + \frac{1}{2}d^2 sin \alpha=
\frac{1}{2} sin \alpha\left(2de +e^2 + d^2 \right)=
\frac{1}{2} \left( d+e\right)^2sin \alpha= \frac{1}{2} p^2sin \alpha\)

\(p=d+e\)-przekątna trapezu

[Matematyk_64]

Bez trygonometrii nie można raczej rozwiązać tego zadania. Kąt \(30^o\) musiałby być związany z jakimś szczególnym przypadkiem trójkąta np. 30,60, 90, albo trójkątem równobocznym, żeby było możliwe zastosowanie wzorów typowo "gimnazjalnych".

A co do trygonometrii w gimnazjum. W podstawie programowej nie ma, ale znam nauczycieli, którzy przemycają tą wiedzę wprowadzając wzór na pole trójkąta z sinusem - tu własnie zastosowany.

[kuba [6]]

No cóż, jak nie da się inaczej, to nic. Dzięki wielkie wszystkim za pomoc

[anka]

Da się.

JHH.png (6.19 KiB) Przejrzano 3032 razy

Z własności trójkąta o kątach 30,60,90 stopni:
\(h_1= \frac{12-x}{2}\)
\(h_2= \frac{x}{2}\)

Pole trapezu:
\(P_t=P_{ABD}+P_{DBC}\)
\(P_t= \frac{|BD|h_2}{2} + \frac{|BD|h_1}{2}\)
\(P_t= \frac{12 \cdot \frac{x}{2}}{2} + \frac{12 \cdot \frac{12-x}{2}}{2}\)
\(P_t= 3x+3(12-x)\)
\(P_t= 36\)

A teraz Matematyk_64 udowodni, że pole czworokąta jest równe połowie pola trapezu.

[patryk00714]

Pole, którego czworokąta ma być równe połowie trapezu??

[kuba [6]]

Pole, którego czworokąta ma być równe połowie trapezu??

Czworokąta KLMN.

Dzięki wielkie, Anka, za rozwiązanie zadania bez użycia trygonometrii. A co do pola owego czworokąta to jego obliczenie nie stanowi problemu

[Matematyk_64]

Da się.
A teraz Matematyk_64 udowodni, że pole czworokąta jest równe połowie pola trapezu.

No tak, tak można faktycznie powiązać ten kąt

A co do pola KLMN, to dowód jest oparty na podobieństwie trójkątów o znanej skali podobieństwa.
Primo (pole trapezu).
\(P_T = P_{ \Delta ACD}+P_{ \Delta ACB}\) oraz
\(P_T = P_{ \Delta DBC}+P_{ \Delta DBA}\)
Suma sumarum
(1) \(2 \cdot P_T = P_{ \Delta ACD}+P_{ \Delta ACB} + P_{ \Delta DBC}+P_{ \Delta DBA}\)

Secundo.
\(\Delta ACD\) jest podobny do \(\Delta MND\) o skali podobieństwa 2, czyli
(2) \(P_{\Delta ACD} = 4 \cdot P_{\Delta MND}\)
Analogicznie
(3) \(P_{\Delta DBC} = 4 \cdot P_{\Delta LMC}\)
(4) \(P_{\Delta ACB} = 4 \cdot P_{\Delta LKB}\)
(5) \(P_{\Delta BDA} = 4 \cdot P_{\Delta KNA}\)

Tercio
(6) \(P_{KLMN} = P_T - (P_{\Delta MND}+ P_{\Delta LKB} + P_{\Delta LMC}+ P_{\Delta KNA})\)


Do dzieła. Wstawiając (2-5) do wzoru (1) dostajemy
\(2 \cdot P_T = 4 \cdot P_{\Delta MND}+4 \cdot P_{\Delta LKB} + 4 \cdot P_{\Delta LMC}+4 \cdot P_{\Delta KNA}\)
\(2 \cdot P_T = 4 \cdot ( P_{\Delta MND}+ P_{\Delta LKB} + P_{\Delta LMC}+ P_{\Delta KNA})\)
\(\frac{1}{2} \cdot P_T = ( P_{\Delta MND}+ P_{\Delta LKB} + P_{\Delta LMC}+ P_{\Delta KNA})\)

Teraz z tym do wzoru (6) i finito
\(P_{KLMN} = P_T - \frac{1}{2} \cdot P_T = \frac{1}{2} \cdot P_T\)

Może być?