W trapezie równoramiennym dłuższa podstawa ma długość \(10 \sqrt{3} cm\), a przekątna ma długość \(15 cm\). Wiedząc, że miara kąta rozwartego jest dwa razy większa od miary kąta ostrego, oblicz obwód tego trapezu. Wykonaj rysunek pomocniczy.
Prawidłowy wynik to \(25 \sqrt{3}\).
Wynik wyszedł mi dobry, ale bazowałem na fakcie, że ów przekątna jest jednocześnie dwusieczną kąta przy dłuższej podstawie.
Jednak pasowałoby udowodnić, że rzeczywiście tak w tym przypadku jest, czego nie potrafię.
Proszę o pomoc.
Nazwij trapez ABCD, gdzie AB to dłuższa podstawa.
Rozważ trójkąt ABC.
Masz tutaj: \(|AC|=15cm\\|AB|=10\sqrt{3}cm\\|\angle ABC|=60^0\\15=\frac{10\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}{2}\\|AC|=\frac{|AB|\cdot\sqrt{3}}{2}\)
Wynika stąd, że trójkąt ABC to połowa trójkąta równobocznego, czyli kąt ACB jest prosty, a AC to dwusieczna kąta BAD.
Można też z twierdzenia sinusów dla tego trójkąta: \(\frac{|AC|}{sin60^0}=\frac{|AB|}{sin\alpha}\\\frac{15}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{10\sqrt{3}}{sin\alpha}\\15sin\alpha=15\\sin\alpha=1\\\alpha=90^0\\|\angle ACB|=90^0\\|\angle BAC|=30^0\)
W trojkacie 30,60,90 miedzy bokami jest nastepujaca zalezność: \(\sqrt{3}a,a,2a\). \(\frac{ \sqrt{3}a }{2a} = \frac{ \sqrt{3} }{2}\)
A u nas mamy: \(\frac{15}{10 \sqrt{3} }= \frac{ \sqrt{3} }{2}\)
I stad mamy kąt 30.
Znasz odpowiedź do zadania, to ją podaj. Łatwiej będzie sprawdzić czy w rozwiązaniu zadania nie ma błędu.
Otrzymałeś odpowiedź do umieszczonego zadania? Podziękuj autorowi za rozwiązanie!!
„Jeżeli chcecie nauczyć się pływać ,
To trzeba, żebyście weszli do wody.
Jeżeli zamierzacie nauczyć się rozwiązywania zadań,
to trzeba, żebyście je rozwiązywali”
