Przekątna prostopadłościanu - kąty.

[kuba [6]]

Przekątna prostopadłościanu tworzy z dwiema krawędziami wychodzącymi z jednego wierzchołka kąty o miarach \(45^\circ\)i \(60^\circ\). Wyznacz kąt, jaki tworzy ta przekątna z trzecią krawędzią prostopadłościanu.
Za wszelką pomoc wielkie dzięki.

[josselyn]

trojkat o kacie 45
boki
\(a, \sqrt{b^2+c^2}, \sqrt{a^2+b^2+c^2}\)
trojkat o kacie 45 jest prostokayny i rownoramienny
\(a= \sqrt{b^2+c^2}
a^2=b^2+c^2\)
trojkat o kacie 60
boki
\(b, \sqrt{a^2+c^2}, \sqrt{a^2+b^2+c^2}\)
trojkat o kacie 60 jest prostokayny z zaleznosci w trojkacie prostokatnym o kacie 60
\(\frac{ \sqrt{a^2+c^2} }{b}= \sqrt{3}
\sqrt{a^2+c^2}= \sqrt{3}b
a^2+c^2= 3b^2\)
teraz mamy uklad rownan
\(a^2=b^2+c^2
a^2+c^2= 3b^2\)
podstawiam za\(a^2\) w drugim
\(b^2+c^2+c^2=3b^2
2b^2=2c^2
b=c\)
do pierwszego rownania
\(a^2=b^2+b^2
a^2=2b^2\)
trojkat szukany
boki
\(c, \sqrt{b^2+a^2}, \sqrt{a^2+b^2+c^2}\)
trojkat jest prostokayny
z \(a^2=2b^2\) mamy
\(\sqrt{b^2+a^2}= \sqrt{3b^2}\)
oraz mamy
\(b=c\)
zbadajmy stosunke bokow
\(\frac{c}{ \sqrt{a^2+b^2} }= \frac{b}{\sqrt{3b^2} }= \frac{ \sqrt{3} }{3}\)
zatem stosunkew bokow wskazuje na 60 stopni

[Matematyk_64]

Po narysowaniu można szybko dojść do wymiarów tego prostopadłościanu
Wynoszą odpowiednio
\(a\) - ta z którą przekątna tworzy kąt \(45^o\)
\(\frac{a \sqrt{2} }{2}\) - ta z którą tworzy kąt \(60^o\)
\(a \frac{ \sqrt{6} }{2}\) - ta z którą tworzy szukany kąt
Na dodatek sama przekątna ma długość \(a \sqrt{2}\)
To wszystko ze stosunków długości boków trójkątów (90,45,45) i (90,60,30)

Przekątna podstawy o bokach \(a\) i \(\frac{a \sqrt{2} }{2}\) ma długość \(a \frac{ \sqrt{6} }{2}\) (to akurat z tw. Pitagorasa)
I na koniec też własnie z trójkąta (90,60,30) można wyznaczyć poszukiwany kąt jako \(60^o\)

[kuba [6]]

Wielkie dzięki za Wasze rozwiązanie