Rownanie prostej.

[kuba [6]]

Znajdź równanie prostej przechodzącej przez punkty A=(p,q) i B=(q,p), jeżeli \(p\neq q\). Proszę o pomoc. Z góry dzięki.

[lukasz8719]

Metoda I
Mamy 2 punkty (p,q) i (q,p)
Równanie prostej jest postaci y=ax+b
Skoro oba punkty należą do niej więc spełniają jej równanie tj.
q=ap+b oraz p=aq+b
Musimy więc rozwiązać układ równań
\(\begin{cases} q=ap+b \\ p=aq+b \end{cases}\)
Odejmując równania stronami dostajemy
\(q-p=ap-aq
q-p=a(p-q)
a= \frac{q-p}{p-q}= \frac{-(p-q)}{p-q}=-1\)
Podstawiając otrzymany wynik do pierwszego równania dostajemy b
\(q=(-1) \cdot p+b
b=q+p\)
Ostatecznie równanie prostej jest postaci
\(y=-x+p+q\)

[lukasz8719]

Metoda II (szkoła średnia)
W szkole średniej poznasz wzór na równanie prostej przechodzącej przez 2 punkty
Dla punktów \(A(x_1,y_1), B(x_2,y_2)\)
równanie prostej jest postaci
\(y-y_1= \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1)\)
Wykorzystując go i podstawiając dane w zadaniu punkty (p,q) (q,p) dostajemy
\(y-q= \frac{p-q}{q-p}(x-p)
y-p=(-1) \cdot (x-p)
y-p=-x+q
y=-x+p+q\)

[Matematyk_64]

Albo z wektorków
\(\vec{AB} =[q-p,p-q]\)
stąd równanie prostej ma postać
\((p-q)x - (q-p)y+C = 0\)
(1)\((p-q)x + (p-q)y+C = 0\)
\(x + y + \frac{C}{p-q} = 0\)
C wyznaczamy wstawiając do (1) współrzędne np. punktu A
i dostajemy, że \(C = -(p-q)(p+q)\)
ostatecznie równanie ma postać
\(x+y -(p+q) =0\)

[kuba [6]]

Dzięki za wszystkie rozwiązania.