Podobieństwo trójkątów

[marcin96]

Błąd w zadaniu

[irena]

\(\frac{|CD|}{|AD|}=\frac{4}{5}\\|AD|=\frac{5}{9}|AC|\)

\(|CK|=|BK|=x\\|AK|=y\)

Z twierdzenia o dwusiecznej :
- w trójkącie AKC:
\(\frac{|CK|}{|AK|}=\frac{4}{5}\\\frac{x}{y}=\frac{4}{5}\)
- w trójkącie ABK:
\(\frac{|AK|}{|KB|}=\frac{|AE|}{|EB|}\\\frac{|AE|}{|EB|}=\frac{y}{x}=\frac{5}{4}\\|AE|=\frac{5}{9}|AB|\)

\(\frac{|AD|}{|DC|}=\frac{5}{9}\\\frac{|AE|}{|AB|}=\frac{5}{9}\\\frac{|AD|}{|AC|}=\frac{|AE|}{AB|}\)

Na podstawie cechy (bkb) trójkąty AED i ABC są podobne

[irena]

Trójkąt AED jest podobny do trójkąta ABC.
Skala tego podobieństwa jest równa \(\frac{5}{9}\).
Stosunek pól tych trójkątów jest równy kwadratowi skali podobieństwa, czyli
\(P_{AED}=(\frac{5}{9})^2\cdot P_{ABC}=\frac{25}{81}S\)

\(P_{EBCD}=P_{ABC}-P_{AED}\\P_{EBCD}=S-\frac{25}{81}S=\frac{56}{81}S\)

[marcin96]

A gdzie Pani oblicza skalę podobieństwa ?

[marcin96]

I w żadnym stopniu nie rozumiem Pani pierwszego postu, gdyby mogła mi Pani napisać co Pani tam poszczególnie robi.

[irena]

Skala podobieństwa to stosunek odpowiadających sobie długości. tutaj skala podobieństwa to;
\(\frac{|AE|}{|AB|}=\frac{5}{9}\)

[irena]

Miałeś twierdzenie o dwusiecznej kąta w trójkącie? Wykorzystuję tam to właśnie twierdzenie

[marcin96]

Niestety, ale nie miałem tego twierdzenia...

[irena]

Czy jesteś uczniem gimnazjum? Teraz zauważyłam, że zadanie dałeś na poziomie gimnazjum. Do której klasy chodzisz?
Pomogę Ci bez tego twierdzenia, a dokładniej- pokażę Ci, skąd biorą się proporcje, które tam zapisałam

[marcin96]

Tak jestem uczniem gimnazdjum, chodzę do 3 klasy.

[irena]

Spróbuję Ci pokazać, skąd bierze się twierdzenie o dwusiecznej.

Spójrz na to tak:
- mamy trójkąt ABC
- prowadzimy dwusieczną kąta ACB. Dwusieczna ta przecina bok AB w punkcie D.
\(|\angle ACD|=|\angle DCB|=\alpha\)
- na półprostej AC (przedłużeniu AC za punkt C) zaznacz punkt E taki, że |CE|=|BC|
Trójkąt BEC jest więc równoramienny.
\(|\angle ECB|=180^0-2\alpha\\|\angle CEB|=|\angle CBE|=\frac{180^0-(180^0-2\alpha)}{2}=\alpha\)

\(|\angle ACD|=|\angle AEB|\)
czyli proste CD i BE są równoległe.

Z twierdzenia Talesa:
\(\frac{|AC|}{|CE|}=\frac{|AD|}{|BD|}\\\frac{|AD|}{|DB|}=\frac{AC|}{|BC|}\)

I stąd - stosunek odcinków, na jakie dwusieczna kąta trójkąta dzieli przeciwległy bok jest równy stosunkowi boków tworzących ten kąt.

I to jest właśnie twierdzenie o dwusiecznej kąta w trójkącie.

Zastanowię się jeszcze, czy można to zrobić na poziomie gimnazjum, bez wykorzystywania tego twierdzenia.
P. S. Czy to jest zadanie na poziomie podstawowym w III klasie?

[marcin96]

Na pewno nie jest to zadanie ponad podstawę, ale nie jest też na poziomie podstawowym, troszkę ponad podstawę.

Gdyby potrafiła Pani zrobić to na moim poziomie to bardzo proszę. Za wytłumaczenie bardzo dziękuję.

[marcin96]

Oraz, jeśli nie można by zrobić tego zadania na moim poziomie, to czy mogę przepisać całą pani wypowiedź (2 pierwsze posty z rozwiązaniem) i będzie to dobrze ? Czy potrzebuję jeszcze jakieś inne obliczenia ?

[irena]

Musiałbyś na pewno dołączyć dowód twierdzenia o dwusiecznej, czyli to, co napisałam później.