Przekątna prostopadłościanu - kąty.?

Figury płaskie i przestrzenne, układ współrzędnych.
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
OwenJoseph
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 1
Rejestracja: 22 sie 2020, 09:20
Płeć:

Przekątna prostopadłościanu - kąty.?

Post autor: OwenJoseph » 22 sie 2020, 09:27

Przekątna prostopadłościanu tworzy z dwiema krawędziami wychodzącymi z jednego wierzchołka kąty o miarach \(45^\circ\) i \(60^\circ\). Wyznacz kąt, jaki tworzy ta przekątna z trzecią krawędzią prostopadłościanu.
Za wszelką pomoc wielkie dzięki.
Ostatnio zmieniony 22 sie 2020, 22:29 przez Jerry, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: poprawa wiadomości

Awatar użytkownika
eresh
Mistrz
Mistrz
Posty: 14456
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Podziękowania: 3 razy
Otrzymane podziękowania: 8498 razy
Płeć:

Re: Przekątna prostopadłościanu - kąty.?

Post autor: eresh » 22 sie 2020, 11:24

OwenJoseph pisze:
22 sie 2020, 09:27
Przekątna prostopadłościanu tworzy z dwiema krawędziami wychodzącymi z jednego wierzchołka kąty o miarach 45∘i 60∘. Wyznacz kąt, jaki tworzy ta przekątna z trzecią krawędzią prostopadłościanu.
Za wszelką pomoc wielkie dzięki.
a,b,c - długości krawędzi prostopadłościanu

\(\sqrt{b^2+c^2},a,\sqrt{a^2+b^2+c^2}\) - boki trójkąta prostokątnego z kątem \(45^{\circ}\)
\(\sqrt{b^2+c^2}=a\\
b^2+c^2=a^2\)


\(\sqrt{a^2+c^2},b,\sqrt{a^2+b^2+c^2} \)- boki trójkąta prostokątnego z kątem \(60^{\circ}\)
\(\sqrt{a^2+b^2+c^2}=2b\\
\sqrt{a^2+a^2}=2b\\
a\sqrt{2}=2b\\
b=\frac{a\sqrt{2}}{2}\)


wracając do trójkąta \(45^{\circ}\) mamy:
\(b^2+c^2=a^2\\
\frac{2a^2}{4}+c^2=a^2\\
c^2=\frac{a^2}{2}\\
c=\frac{a\sqrt{2}}{2}\)


\(\sqrt{a^2+b^2},c,\sqrt{a^2+b^2+c^2}\) - boki trójkąta z kątem \(\alpha\)
\(\cos\alpha=\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\\
\cos\alpha=\frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}}{a\sqrt{2}}\\
\cos\alpha=\frac{1}{2}\\
\alpha=60^{\circ}\)