Jeśli pytasz nas, to
\((x_1+1)( x_2+1)=x_1x_2+(x_1+x_2)+1={c\over a}+{-b\over2}+1=\ldots\)
Analogicznie
\((x_1-2)( x_2-2)=x_1x_2-2\cdot(x_1+x_2)+4={c\over a}-2\cdot{-b\over2}+4=\ldots\)
Pozdrawiam
Parametr m
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
Jerry
- Expert
- Posty: 3512
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 50 razy
- Otrzymane podziękowania: 1923 razy
Re: Parametr m
Analogicznie
\((x_1-2)( x_2-2)=x_1x_2-2\cdot(x_1+x_2)+4={c\over a}-2\cdot{-b\over2}+4=\ldots\)
Pozdrawiam
-
janusz55
- Fachowiec
- Posty: 1506
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 1 raz
- Otrzymane podziękowania: 399 razy
Re: Parametr m
Suma pierwiastków nic nie wnosi do rozwiązania i jak pisałem jest zbyteczna.
Różnica pierwiastków, którą przedstawiłem jest pomocna wtedy, gdy w treści zadań z parametrem jest podana jej wartość.
Różnica pierwiastków, którą przedstawiłem jest pomocna wtedy, gdy w treści zadań z parametrem jest podana jej wartość.
Re: Parametr m
Jerry napisał, że w drugim będzie trudno skorzystać z wzorów Viete'a no ale się da. Sedno mojego pytania to czy da się to zrobić żeby to było zgodne z założeniami. Zawsze w tego typy zadaniach uwzględnia się dwa warunki iloczyn i sumę pierwiastków. I nie rozumiem dlaczego wystarczy tutaj iloczyn pierwiastków. Jeszcze proszę żeby Jerry wyjaśnił mi co to znaczy
aby -1 i -2 rozdzielały pierwiastki
-
janusz55
- Fachowiec
- Posty: 1506
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 1 raz
- Otrzymane podziękowania: 399 razy
Re: Parametr m
Po co formułować dodatkowe wyrażenia skoro są one niepotrzebne - nic nie wnoszą do rozwiązania. Doceniam Twoje zaangażowanie w rozwiązywaniu zadań z równań kwadratowych z parametrem.
Gdybyś chciał całościowo pogłębić wiedzę z tego tematu, proponuję małą książeczkę: Pana dr Adama Żwirbla. BŁYSKAWICZNY KURS PRZYGOTOWAWCZY Z MATEMATYKI cz. III - rozwiązywanie różnych typów równań i nierówności.
Autor w sposób przystępny syntetycznie ujmuje warianty równań i nierówności kwadratowych z parametrem.
Gdybyś chciał całościowo pogłębić wiedzę z tego tematu, proponuję małą książeczkę: Pana dr Adama Żwirbla. BŁYSKAWICZNY KURS PRZYGOTOWAWCZY Z MATEMATYKI cz. III - rozwiązywanie różnych typów równań i nierówności.
Autor w sposób przystępny syntetycznie ujmuje warianty równań i nierówności kwadratowych z parametrem.
-
janusz55
- Fachowiec
- Posty: 1506
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 1 raz
- Otrzymane podziękowania: 399 razy
Re: Parametr m
Przyjrzyjmy się rozwiązaniu zadania, które wywołało burzliwą dyskusję.
Metoda pierwsza wynikająca z położenia pierwiastków funkcji kwadratowej \( f(x) \) względem liczb \( -1, 2,\)
\( a = 1 >0 \)
\( \Delta = [-(3m+5)]^2 - 4\cdot 1 \cdot (2m-7) = 9m^2 +30m +25 -8m + 28 = 9m^2 +22m +53> 0, \ \ m\in \rr. \)
\( \begin{cases} f(-1)< 0 \\ f(2) <0 \end{cases}\)
Podstawiając liczby \( -1 , 2 \) otrzymujemy układ nierówności
\(\begin{cases} m\in \rr \\ (-1)^2 -(3m+5)(-1)+2m-7 < 0 \\ 2^2 - (3m+5)(2)+2m-7 <0 \end{cases} \)
Stąd
\( \begin{cases} m\in \rr \\ 1+3m +5 +2m-7 = 5m -1 <0 \\ 4 -6m -10 +2m-7 = -4m -13 <0 \end{cases} \)
\( \begin{cases} m \in \rr \\ m< \frac{1}{5} \\ m> -\frac{13}{4} = -3\frac{1}{4} \end{cases}\)
Jeśli zobrazujemy ten układ nierówności na osi \( 0x, \) to zauważymy, że wspólnym przedziałem dla którego ten układ jest spełniony jest \( \left (-3\frac{1}{4}, \ \ \frac{1}{5} \right). \)
Metoda druga wynikająca z odległości pierwiastków równania kwadratowego \( x_{1}, x_{2} \) od liczb dpowiednio \( -1, 2.\)
Ta metoda jak zauważył Jerry jest trudna do zrealizowania w tym zadaniu , bo otrzymujemy pierwiastki równania kwadratowego różnych znaków z różnymi współczynnikami. Trudno jest więc stworzyć ich sumę dla wzoru Viete'a.
Dla osób, które nie znają metody pierwszej ale, wiedzą jak rozwiązuje się równania kwadratowe za pomocą delty, pozostała metoda tradycyjna - obliczenia pierwiastków równania i utworzenia nierówności:
\( \begin{cases} \Delta >0 \\ x_{1} < -1 \\ x_{2} < 2 \end{cases} \)
\( \begin{cases} m\in \rr \\ x_{1} = \frac{-b -\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{3 m +5 - \sqrt{9m^2+22m +53}}{2} < -1 \\ x_{2} = \frac{-b +\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{3 m +5 + \sqrt{9m^2+22m +53}}{2} < 2 \end{cases} \)
Mnożąc obie strony tych przez \( 2 \)
\( \begin{cases} m\in \rr \\ 3 m +5 - \sqrt{9m^2+22m +53} < - 2 \\ 3 m +5 + \sqrt{9m^2+22m +53} < 4 \end{cases} \)
Porządkując:
\( \begin{cases} m\in \rr \\ \sqrt{9m^2+22m +53} > (3m+7) \\ \sqrt{9m^2+22m +53} < -( 3m+1)\end{cases} \)
Podnosząc do kwadratu:
\( \begin{cases} m\in \rr \\ 9m^2 +22m +53 > 9m^2 + 42m + 49 \\ 9m^2 +22m +53 > 9m^2 +6m +1 \end{cases}\)
\( \begin{cases} m\in \rr \\ -20m > -4 \\ 16m > -52 \end{cases} \)
\( \begin{cases} m\in \rr \\ m < \frac{-4}{-20} = \frac{1}{5} \\ m> -\frac{52}{16} = -\frac{13}{4} = -3\frac{1}{4} \end{cases}.\)
\( m \in \left( -3\frac{1}{4}, \ \ \frac{1}{5} \right).\)
Metoda pierwsza wynikająca z położenia pierwiastków funkcji kwadratowej \( f(x) \) względem liczb \( -1, 2,\)
\( a = 1 >0 \)
\( \Delta = [-(3m+5)]^2 - 4\cdot 1 \cdot (2m-7) = 9m^2 +30m +25 -8m + 28 = 9m^2 +22m +53> 0, \ \ m\in \rr. \)
\( \begin{cases} f(-1)< 0 \\ f(2) <0 \end{cases}\)
Podstawiając liczby \( -1 , 2 \) otrzymujemy układ nierówności
\(\begin{cases} m\in \rr \\ (-1)^2 -(3m+5)(-1)+2m-7 < 0 \\ 2^2 - (3m+5)(2)+2m-7 <0 \end{cases} \)
Stąd
\( \begin{cases} m\in \rr \\ 1+3m +5 +2m-7 = 5m -1 <0 \\ 4 -6m -10 +2m-7 = -4m -13 <0 \end{cases} \)
\( \begin{cases} m \in \rr \\ m< \frac{1}{5} \\ m> -\frac{13}{4} = -3\frac{1}{4} \end{cases}\)
Jeśli zobrazujemy ten układ nierówności na osi \( 0x, \) to zauważymy, że wspólnym przedziałem dla którego ten układ jest spełniony jest \( \left (-3\frac{1}{4}, \ \ \frac{1}{5} \right). \)
Metoda druga wynikająca z odległości pierwiastków równania kwadratowego \( x_{1}, x_{2} \) od liczb dpowiednio \( -1, 2.\)
Ta metoda jak zauważył Jerry jest trudna do zrealizowania w tym zadaniu , bo otrzymujemy pierwiastki równania kwadratowego różnych znaków z różnymi współczynnikami. Trudno jest więc stworzyć ich sumę dla wzoru Viete'a.
Dla osób, które nie znają metody pierwszej ale, wiedzą jak rozwiązuje się równania kwadratowe za pomocą delty, pozostała metoda tradycyjna - obliczenia pierwiastków równania i utworzenia nierówności:
\( \begin{cases} \Delta >0 \\ x_{1} < -1 \\ x_{2} < 2 \end{cases} \)
\( \begin{cases} m\in \rr \\ x_{1} = \frac{-b -\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{3 m +5 - \sqrt{9m^2+22m +53}}{2} < -1 \\ x_{2} = \frac{-b +\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{3 m +5 + \sqrt{9m^2+22m +53}}{2} < 2 \end{cases} \)
Mnożąc obie strony tych przez \( 2 \)
\( \begin{cases} m\in \rr \\ 3 m +5 - \sqrt{9m^2+22m +53} < - 2 \\ 3 m +5 + \sqrt{9m^2+22m +53} < 4 \end{cases} \)
Porządkując:
\( \begin{cases} m\in \rr \\ \sqrt{9m^2+22m +53} > (3m+7) \\ \sqrt{9m^2+22m +53} < -( 3m+1)\end{cases} \)
Podnosząc do kwadratu:
\( \begin{cases} m\in \rr \\ 9m^2 +22m +53 > 9m^2 + 42m + 49 \\ 9m^2 +22m +53 > 9m^2 +6m +1 \end{cases}\)
\( \begin{cases} m\in \rr \\ -20m > -4 \\ 16m > -52 \end{cases} \)
\( \begin{cases} m\in \rr \\ m < \frac{-4}{-20} = \frac{1}{5} \\ m> -\frac{52}{16} = -\frac{13}{4} = -3\frac{1}{4} \end{cases}.\)
\( m \in \left( -3\frac{1}{4}, \ \ \frac{1}{5} \right).\)
Ostatnio zmieniony 27 mar 2023, 21:42 przez janusz55, łącznie zmieniany 3 razy.
-
Jerry
- Expert
- Posty: 3512
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 50 razy
- Otrzymane podziękowania: 1923 razy
Re: Parametr m
Muszę Cię powiadomić, że działam no forum w miarę możliwości czasowych i robię to non profit - ponaglanie przez PW jest irytujące....
Pozdrawiam
PS. W wątku pojawiły się wszelkie możliwe sugestie, wg mnie - wystarczy. Wątek zamykam i czyszczę ze spamu!
[edited] janusz55 się rozwinął... ostatnia metoda jest dosyć wątpliwa formalnie - potęgujesz bez potrzebnych założeń o nieujemności stron nierówności - lepiej nie propagować tej metody!
Napisałem również, że warunek nie prowadzi do poprawnego rozwiązania. Możesz jednak próbować.
Zawsze? To często! A co z rozstrzyganiem pierwiastków różnych znaków? Wystarczy: \(x_1\cdot x_2<0\)
Po prostu: \(x_1< -1<2<x_2\)
Pozdrawiam
PS. W wątku pojawiły się wszelkie możliwe sugestie, wg mnie - wystarczy. Wątek zamykam i czyszczę ze spamu!
[edited] janusz55 się rozwinął... ostatnia metoda jest dosyć wątpliwa formalnie - potęgujesz bez potrzebnych założeń o nieujemności stron nierówności - lepiej nie propagować tej metody!