Parametr m

[Korni131]

Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie \( x^2− (3m + 5)x + 2m − 7 = 0\)
posiada dwa różne pierwiastki takie, że jeden z pierwiastków jest mniejszy od \(−1\), a drugi większy od \(2\). Zapisz obliczenia.

[Jerry]

Wobec dodatniego współczynnika kierującego trzeba i wystarczy
\(\begin{cases}f(-1)<0\\ f(2)<0\end{cases}\)
dla
\(f(x)=x^2− (3m + 5)x + 2m − 7\)

Pozdrawiam
PS. Przestań cudować z formatowaniem fontów - wystarczy pisać w kodzie \(\LaTeX\)

[Luiza2]

A nie tak?
\(\begin{cases}f(-1)>0\\ f(2)<0\end{cases}\)

[Jerry]

A nie tak?
\(\begin{cases}f(-1)>0\\ f(2)<0\end{cases}\)

Zaproponowane przez Ciebie warunki zapewniają istnienie mniejszego z pierwiastków w przedziale \((-1;2)\), większego w \((2;+\infty)\)

Pozdrawiam

[Korni131]

Przestań cudować z formatowaniem fontów - wystarczy pisać w kodzie \(\LaTeX\)

Dzięki ,ale skopiowałem poprostu zadanie z pdf'a

[Korni131]

Wobec dodatniego współczynnika kierującego trzeba i wystarczy
\(\begin{cases}f(-1)<0\\ f(2)<0\end{cases}\)
dla
\(f(x)=x^2− (3m + 5)x + 2m − 7\)

Czy mógłbyś wyjaśnić skąd to się bierze lub wskazać inny sposób?

[nijak]

Narysuj parabolę i zauważ, że jeśli byłoby inaczej np. \(f(-1)>0\), to na chłopski rozum jeśli dla \((-1)\) mamy wartość większą od zera to miejsce zerowe jest większe od \((-1)\) co odrzuca nam warunek miejsca zerowego określonego w zadaniu. Wtedy pierwiastek występowałby w przedziale \((-1;2)\).

Napisz czy wiesz czym są wzory Viete’a to pokażę Ci alternatywny sposób rozwiązania.

Pozdrawiam

[nijak]

Wnioskuje, że nie narysowałeś paraboli i nie przeanalizowałeś dla przeciwnych założeń.
Trochę zapału Wkrótce sam do tego dojdziesz.

Pozdrawiam
[ciach]

[Korni131]

Po pierwsze zapał mam bo nie robie tego jako jakieś pracy domowej tylko dla własnego rozwoju ,a po drugie nie mogłem tego zrozumieć , ponieważ nigdy nie robiłem zadania z takimi założeniami . Zadanie po narysowaniu kilku wariantów położenia zrozumiałem,bo mnie nakierowałeś.
A z wzorów Vieta masz na myśli ?
\(
x<-1 \)
\(x>2\)
\((x+1)(x-2)<0 \)

[nijak]

No i widzisz bardzo dobrze.

Chodzi o to
\[ \begin{cases} \Delta >0 \\ (x_1-2)(x_2-2)<0 \\ (x_1+1)(x_2+1)<0 \end{cases}\]

Pozdrawiam
Ps. Pisz w kodzie

[edited] Po adnotacji Jerry

[janusz55]

Trzeci warunek na sumę jest zbyteczny.

[Jerry]

Chodzi o to
\( \begin{cases} \Delta >0 \\ (x_1+1)(x_2-2)<0 \\ (x_1+1)+(x_2-2)<0 \end{cases}\)

Trzeci warunek na sumę jest zbyteczny.

Nawet nieprawdziwy - sprawdź dla \(x_1=-2,\ x_2=5\)! A poza tym w drugim trudno będzie skorzystać z wzorów Viete'a...

Ad rem:
Dla \(\Delta(m)>0\), aby \(-1\) i \(2\) rozdzielały pierwiastki, powinno być:
\(\left(\begin{cases}x_1<-1\\ x_2>-1\end{cases}\wedge\begin{cases}x_1<2\\ x_2>2\end{cases}\right)\iff\begin{cases}(x_1+1)( x_2+1)<0\\(x_1-2)( x_2-2)<0\end{cases}\)

Pozdrawiam
PS. Jeśli, jak piszesz, chcesz się matematycznie rozwijać - ogarnij "parabole sprzyjające", które opisał nijak

[edited] uzupełnienie po poście janusz55

[Jerry]

nijak: Jeśli edytujesz post - informuj, proszę, o wprowadzanych zmianach!

[janusz55]

Jeśli mamy wyrazić różnicę rozwiązań równania kwadratowego \( x_{1} - x_{2} \) przez ich sumę \( x_{1}+x_{2}, \)

podnosimy różnicę do kwadratu:

\( (x_{1} - x_{2})^2 = x^2_{1} - 2x_{1}\cdot x_{2} + x^2_{2} \ \ (*). \)

Zostawiamy podwójny iloczyn ze znakiem minus.

Sumę kwadratów pierwiastków równania \( x^2_{1} + x^2_{2} \) uzupełniamy do kwadratu sumy:

\( x^2_{1} + x^2_{2} + 2x_{1}\cdot x_{2} - 2x_{1}\cdot x_{2} = (x_{1} +x_{2})^2 - 2x_{1}\cdot x_{2} \ \ (**)\)

Uwzględniając równanie \( (**) \) w \( (*) \), otrzymujemy

\( (x_{1}-x_{2})^2 = (x_{1} + x_{2})^2 - 2x_{1}\cdot x_{2} -2x_{1}\cdot x_{2} = (x_{1}+x_{2})^2 -4x_{1}\cdot x_{2}. \)

\( x_{1} - x_{2} = \pm \sqrt{(x_{1}+x_{2})^2 - 4x_{1}\cdot x_{2}}.\)

[Jerry]

Czyli jak to można zastosować w rozwiązaniu tego zadania?

Post janusz55 nic nie wnosi do rozstrzyganego problemu, zatem najlepiej wykorzystać wskazówki z moich postów

Pozdrawiam
PS. Dla \(\Delta\ge0\) mamy
\[|x_1-x_2|=\left|\frac{-b-\sqrt\Delta}{2a}-\frac{-b+\sqrt\Delta}{2a}\right|=\left|\frac{-2\sqrt\Delta}{2a}\right|=\frac{\sqrt\Delta}{|a|}\]