Nierowność wielomianowa z parametrem.

[Maciek32]

Dla jakich wartości parametru \(k\) nierówność \(x^4+ kx^2 + 1 > 0\) jest prawdziwa dla każdego \(x ∈ R\) ?

[Icanseepeace]

I Sposób:
Podstawiamy \( u = x^2 \) i otrzymujemy nierówność \( u^2 + uk + 1 >0 \). Chcemy aby była ona prawdziwa dla dowolnego \( u \geq 0 \). Wystarczy zatem aby:
\( 1^o \ ) \ \Delta < 0 \So k \in (-2 , 2) \)
\( 2^o \ ) \ \Delta = 0 \wedge u_0 < 0 \So k = 2 \)
\( 3^o \ ) \ \Delta > 0 \wedge u_1 < 0 \wedge u_2 < 0 \So k > 2 \)
Ostatecznie \( k > -2 \)

II Sposób:
Niech \( W(x) = x^4 + kx^2 + 1 \)
Jeżeli \( k \geq 0 \) to \( W(x) \geq 0 + 0 + 1 = 1 >0 \).
Jeżeli \( k < 0 \) to patrzymy kiedy minimum funkcji jest liczba dodatnia: \( W'(x) = 0 \So x^2 = \frac{-k}{2} \So \frac{k^2}{4} - \frac{k^2}{2} + 1 > 0 \So k \in (-2 , 0) \)
Edit:
\( W'(x) = 0 \) ma również rozwiązanie \( x = 0 \) którego nie uwzględniam ponieważ w tym punkcie znajduje się maksimum. Oczywiście w pełnym rozwiązaniu należy dokładniej rozpisać podstawowy przebieg zmienności.

[Maciek32]

A co ma oznaczać \(u_0<0\) i \(u_1<0\) i dlaczego obliczyłeś deltę wiekszą od zera równą zero, przecież ta funkcja czwartego stopnia ma nie mieć pierwiastków. I skąd ostatecznie wyszło, że \(k>-2\). Możesz wyjaśnić?

[Icanseepeace]

Po pierwsze nierówność \( x^4 + kx^2 + 1 > 0 \) będzie prawdziwa dla dowolnego rzeczywistego \( x \) wtedy gdy równanie:
\( x^4 + kx^2 + 1 = 0 \) nie będzie miało rozwiązań rzeczywistych.
Teraz kwestia tego równania. Najpierw podstawiam \( u = x^2 \). Gdzie \( u < 0 \) (jeżeli \( u \geq 0 \)) to równanie \( u = x^2 \) będzie miało rozwiązania rzeczywiste, a więc i równanie x^4 + kx^2 + 1 = 0 będzie takowe posiadać). Dostaję równanie: \( u^2 + ku + 1 = 0\) które rozważam w trzech różnych przypadkach:
Pierwszy i najprostszy: \( \Delta < 0 \So k \in (-2 , 2) \)
Drugi: \( \Delta = 0 \ (k = 2 \vee k = -2) \). Wtedy równanie \( u^2 + ku + 1 = 0 \) ma dokładnie jeden pierwiastek.
Jeżeli będzie on mniejszy od zera (\( u_0 < 0 \)) to równanie \( x^4 + kx^2 + 1 = 0 \) nie będzie miało rozwiązań rzeczywistych. Stąd \( u_0 = \frac{-k}{2} < 0 \So k = -2 \) odpada.
Final boss: \( \Delta > 0 \So |k| > 2 \) równanie \( u^2 + ku + 1 = 0 \) posiada dwa rozwiązania rzeczywiste. Jeżeli oba będą ujemne to równanie \( x^4 + kx^2 + 1 = 0 \) nie będzie miało rozwiązań rzeczywistych. Stąd \( u_1 < 0 \wedge u_2 < 0 \So
u_1 + u_2 < 0 \wedge u_1 \cdot u_2 > 0 \So k > 0 \) i łącząc to z warunkiem \( |k| > 2 \) dostajemy \( k > 2 \)
Ostatecznie:
Pierwszy przypadek : \( k \in (-2 , 2) \)
Drugi przypadek \( k = 2 \)
Final boss \( k > 2 \)
Suma mnogościowa tych trzech przypadków: \( k > -2 \)

[Maciek32]

Gdzie \(u<0\) (jeżeli \(u≥0\))
to równanie \(u=x^2\) będzie miało rozwiązania rzeczywiste

Tego kompletnie nie rozumiem.
I dlaczego \(u_0=\frac{-k}{2}\)

Final boss: \( \Delta > 0 \So |k| > 2 \) równanie \( u^2 + ku + 1 = 0 \) posiada dwa rozwiązania rzeczywiste. Jeżeli oba będą ujemne to równanie \( x^4 + kx^2 + 1 = 0 \) nie będzie miało rozwiązań rzeczywistych. Stąd \( u_1 < 0 \wedge u_2 < 0 \So
u_1 + u_2 < 0 \wedge u_1 \cdot u_2 > 0 \So k > 0 \) i łącząc to z warunkiem \( |k| > 2 \) dostajemy \( k > 2 \)

Tego również nie rozumiem. Mógłbyś prościej?

[Icanseepeace]

Gdzie \(u<0\) (jeżeli \(u≥0\))
to równanie \(u=x^2\) będzie miało rozwiązania rzeczywiste

Tego kompletnie nie rozumiem.

Źle nawias wstawiłem. Powinno być:
Gdzie \(u<0\) (jeżeli \(u≥0\) to równanie \(u=x^2\) będzie miało rozwiązania rzeczywiste)
Prosty przykład:
\( u = -1 \So x^2 = -1 \) - brak rozwiązań rzeczywistych (kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej nie może być ujemny)
\( u = 0 \So x^2 = 0 \So x = 0 \) - istnieje rozwiązanie rzeczywiste (\( x= 0 \))
\( u = 4 \So x^2 = 4 \So x = 2 \vee x = -2 \) - istnieje rozwiązanie rzeczywiste (na przykład \( x = 2 \) )
Powyższe kilka linijek jest najważniejsze jeśli chodzi o zrozumienie rozwiązania.
Dalej: Teraz wracamy do równania \( u^2 + ku + 1 = 0 \) konkretniej do przypadku gdy \( \Delta > 0 \).
Gdy \( \Delta > 0 \) równanie posiada dwa różne pierwiastki rzeczywiste. Jeżeli chociaż jeden z nich nie będzie ujemny (czyli będzie \( \geq 0 \) ) to znajdziemy jakiegoś rzeczywistego \( x \) który będzie pierwiastkiem równania
(Dla przykładu z równania \( u^2 + ku + 1 \) wychodzi nam \( u = 1 \). Wtedy mamy \( x^2 = 1 \So x = 1 \) czyli rozwiązanie istnieje a chcemy aby nie istniało). Dlatego oba pierwiastki równania muszą być mniejsze od 0.
\( u_0 = \frac{-k}{2} \) wynika z wzoru na pierwiastek równania kwadratowego gdy \( \Delta = 0 \).
Aby na chwilę odpocząc od parametru mozesz rozwiązać równanie:
\( x^4 - 4x^2 + 5 = 0 \) za pomocą podstawienia \( u = x^2 \) i zobaczyć jak sie zachowają rozwiązania względem \( u \) a jak względem \( x \)

[Jerry]

Albo:

1. \(x=0\) jest rozwiązaniem danej nierówności dla każdego \(k\in\rr\)
2. Dla \(x\ne0\) nierówność jest równoważna \(k>-x^2+{1\over-x^2}\)
   Wystarczy zatem wskazać wartość największą funkcji \(f(t)=t+{1\over t}\wedge t<0\).
   Elementarnie:
   \[\bigwedge\limits_{t<0}(t+1)^2\ge0\\ t^2+2t+1\ge0\\ t^2+1\ge-2t\quad|:t\\ t+{1\over t}\le-2\\ f(t)\le -2\wedge (f(t)=-2\iff t=-1)\]

Stąd odpowiedź: \(k>-2\)

Pozdrawiam

[Maciek32]

Elementarnie:
\[\bigwedge\limits_{t<0}(t+1)^2\ge0\\ t^2+2t+1\ge0\\ t^2+1\ge-2t\quad|:t\\ t+{1\over t}\le-2\\ f(t)\le -2\wedge (f(t)=-2\iff t=-1)\]

Stąd odpowiedź: \(k>-2\)

Mógłbyś rozjaśnić tę metodę elementarną z kwantyfikatorem, bo nie rozumiem dlaczego jest tam \((t+1)^2\)?

[Jerry]

... nie rozumiem dlaczego jest tam \((t+1)^2\)?

Po pierwsze: bo to prawda, po drugie - prowadzi do szukanego porządku...

Pozdrawiam
PS. To spróbuj inaczej: rozwiąż po prostu nierówność \(t+{1\over t}\le-2\)

[Maciek32]

Bo to prawda, wiem ale jak do tego doszedłeś i skąd wiedziałeś że po przekształcenjach wyjdzie funkcja \( f(t)=t+\frac{1}{t} \)

[Jerry]

... skąd wiedziałeś ...

Przykro mi to powiedzieć, ale...

Doświadczenie kształtuje świadomość!

... poczułem się staro.

Pozdrawiam