Rozwiąż równania.

[Maciek32]

1. \(x^4+x^3+x^2+x+1=0\)
2. \(x^4+x^3+x-1=0\)

[eresh]

2. \(x^4+x^3+x-1=0\)

\(x^4-1+x^3+x=0\\
(x^2+1)(x^2-1)+x(x^2+1)=0\\
(x^2+1)(x^2-1+x)=0\\
x^2+1=0\;\;\;\vee\;\;x^2+x-1=0\)
pierwsze sprzeczne w \(\mathbb{R}\), z drugim chyba dasz radę?

[nijak]

Maciek32 chodzi Ci o rozwiązania w liczbach rzeczywistych czy zespolonych?

[Maciek32]

Zarówno w rzeczywistych jak i zespolonych.

[Jerry]

1. \(x^4+x^3+x^2+x+1=0\)

1. \(x=0\So L\ne P\)
2. \(x\ne0\So x^4+x^3+x^2+x+1=0\quad|:x^2\\
   (x+{1\over x})^2+(x+{1\over x})-1=0\\
   x+{1\over x}=\frac{-1-\sqrt5}{2}\vee x+{1\over x}=\frac{-1+\sqrt5}{2}\\
   \ldots \)

W \(\rr\) sprzeczne

Pozdrawiam

[nijak]

Pomnóżmy pierwsze równanie przez dwumian \((x-1)\) otrzymamy:
Zał: \(x \neq 1\)
\[(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)=x^5-1\]
\[x^5=1,\]
\[(x^5)^\frac{1}{5}=(e^{2\pi i})^\frac{1}{5}\]
Mamy cztery rozwiązania zespolone:
\(x_1=\cos( \frac{2 \pi }{5})+i\sin( \frac{2 \pi }{5}) \)
\(x_2=\cos( \frac{4 \pi }{5})+i\sin( \frac{4 \pi }{5}) \)
\(x_3=\cos( \frac{6 \pi }{5})+i\sin( \frac{6 \pi }{5}) \)
\(x_4= \cos( \frac{8 \pi }{5})+i\sin( \frac{8 \pi }{5}) \)

W przykładzie 2. rozwiązania zespolone to: \(x=i \ , x=-i\)