Zadania uzupełniające.

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Awatar użytkownika
nijak
Czasem tu bywam
Czasem tu bywam
Posty: 121
Rejestracja: 09 lis 2021, 10:17
Lokalizacja: 53°7'24"N 23°5'11"E
Podziękowania: 40 razy
Otrzymane podziękowania: 31 razy
Płeć:

Zadania uzupełniające.

Post autor: nijak »

1. Podaj liczbę rozwiązań równania \(f(x)=mx\) w zależności od parametru m.
a) \(f(x)=|\frac{1}{x}|+4\)
b) \(f(x)=\frac{1}{|x+1|}-1\)
2. Dla jakiej wartości parametru m równanie \(\frac{1}{|x-1|}=m-2\) ma dwa pierwiastki dodatnie?
3. Dla jakich wartości parametru m wykresy funkji f i g nie mają punktów wspólnych?
a) \(f(x)=\frac{m-3}{x}, g(x)=x+m\)
b) \(f(x)=\frac{m}{x}, g(x)=(m-1)x\)
4. Dla jakich wartości parametru m funkja f jest funkcją kwadratową o najmniejszej wartości większej od 1?
a) \(f(x)=mx^2+4x+m+4\)
b) \(f(x)= (m-2)x^2+(m-5)x+2\)
5. Oblicz \(\lim_{n \to \infty}a_n\).
a) \(a_n=\frac{(n+2)!+n!}{(n+3)!}\)
b) \(a_n=f(n) = \begin{cases} \frac{2n}{1+n^2}, & \text{dla }n\leq 1000 \\ \frac{1-n}{1+n}, & \text{dla }n>1000 \end{cases}\)
c) \(a_n=f(n) = \begin{cases} \frac{1}{n}, & \text{dla }n\leq 500 \\ \frac{6n+1}{2n+1}, & \text{dla }n>500 \end{cases}\)
5. Dla jakich wartości parametru b ciąg:
a) \(a_n=\frac{bn}{(b+1)n+3}\) ma granicę równą \(- \infty \)
b) \(a_n=\frac{b^2n}{(b+4)n+b}\) ma granicę równą \(2\)
Jeśli doceniasz pracę autora tego rozwiązania, to podziękuj mu zostawiając 👍.

\(e^{i\pi}+1=0\)
Awatar użytkownika
eresh
Guru
Guru
Posty: 16825
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Podziękowania: 6 razy
Otrzymane podziękowania: 10381 razy
Płeć:

Re: Zadania uzupełniające.

Post autor: eresh »

nijak pisze: 26 sty 2023, 21:05
2. Dla jakiej wartości parametru m równanie \(\frac{1}{|x-1|}=m-2\) ma dwa pierwiastki dodatnie?
rysujemy wykres \(f(x)=\frac{1}{|x-1|}+2\)
zadanie.png
dwa rozwiązania dodatnie, gdy \(m>3\)
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę 👍
Awatar użytkownika
eresh
Guru
Guru
Posty: 16825
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Podziękowania: 6 razy
Otrzymane podziękowania: 10381 razy
Płeć:

Re: Zadania uzupełniające.

Post autor: eresh »

nijak pisze: 26 sty 2023, 21:05
3. Dla jakich wartości parametru m wykresy funkji f i g nie mają punktów wspólnych?
a) \(f(x)=\frac{m-3}{x}\), \(g(x)=x+m\)
\(x\neq 0\\
\frac{m-3}{x}=x+m\\
m-3=x^2+mx\\
x^2+mx-m+3=0\\
\Delta<0\\
m^2-4(-m+3)<0\\
m^2+4m-12<0\\
m\in (-6,2)\)
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę 👍
Awatar użytkownika
eresh
Guru
Guru
Posty: 16825
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Podziękowania: 6 razy
Otrzymane podziękowania: 10381 razy
Płeć:

Re: Zadania uzupełniające.

Post autor: eresh »

nijak pisze: 26 sty 2023, 21:05
3. Dla jakich wartości parametru m wykresy funkji f i g nie mają punktów wspólnych?

b) \(f(x)=\frac{m}{x}\), \(g(x)=(m-1)x
\)
\(\frac{m}{x}=(m-1)x\\
x\neq 0\\
m=(m-1)x^2\\
x^2(m-1)-m=0\\\)

1. dla \(m=1\):
\(-1=0\)
brak rozwiązań
2. dla \(m\neq 1\)
\(x^2(m-1)=m\\
x^2=\frac{m-1}{m}\)

brak rozwiązań, gdy
\(\frac{m-1}{m}<0\\
m\in (0,1)\)

Odpowiedź: \(m\in(0,1]\)

Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę 👍
Awatar użytkownika
eresh
Guru
Guru
Posty: 16825
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Podziękowania: 6 razy
Otrzymane podziękowania: 10381 razy
Płeć:

Re: Zadania uzupełniające.

Post autor: eresh »

nijak pisze: 26 sty 2023, 21:05
4. Dla jakich wartości parametru m funkja f jest funkcją kwadratową o najmniejszej wartości większej od 1?
a) \(f(x)=mx^2+4x+m+4\)
\(m>0\\
q>1\\
p=-\frac{-4}{2m}=-\frac{2}{m}\\
q=m\cdot\frac{4}{m^2}-\frac{8}{m}+m+4\\
q=\frac{-4}{m}+m+4\\
\frac{-4}{m}+m+4>1\\
-4+m^2-3m>0\\
m^2-3m-4>0\\
m\in (4,\infty)\)
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę 👍
Awatar użytkownika
eresh
Guru
Guru
Posty: 16825
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Podziękowania: 6 razy
Otrzymane podziękowania: 10381 razy
Płeć:

Re: Zadania uzupełniające.

Post autor: eresh »

nijak pisze: 26 sty 2023, 21:05
4. Dla jakich wartości parametru m funkja f jest funkcją kwadratową o najmniejszej wartości większej od 1?

b) \(f(x)= (m-2)x^2+(m-5)x+2
\)
\(m-2>0\\
m>2\\
\Delta=m^2-10m+25-8(m-2)=m^2-10m+25-8m+16=m^2-18m+41\\
\frac{-m^2+18m-41}{4(m-2)}>1\\
-m^2+18m-41>4m-8\\
-m^2+14m-33>0\\
m\in (3,11)\)
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę 👍
Awatar użytkownika
eresh
Guru
Guru
Posty: 16825
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Podziękowania: 6 razy
Otrzymane podziękowania: 10381 razy
Płeć:

Re: Zadania uzupełniające.

Post autor: eresh »

nijak pisze: 26 sty 2023, 21:05
5. Oblicz \(\lim_{n \to \infty}a_n\).
a) \(a_n=\frac{(n+2)!+n!}{(n+3)!}\)
\(\Lim_{n\to\infty}\frac{(n+2)!+n!}{(n+3)!}=\Lim_{n\to\infty}(\frac{1}{n+3}+\frac{1}{(n+1)(n+2)(n+3)})=\Lim_{n\to\infty}\frac{n^2+3n+3}{(n+1)(n+2)(n+3)}=0\)
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę 👍
Awatar użytkownika
eresh
Guru
Guru
Posty: 16825
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Podziękowania: 6 razy
Otrzymane podziękowania: 10381 razy
Płeć:

Re: Zadania uzupełniające.

Post autor: eresh »

nijak pisze: 26 sty 2023, 21:05
5. Dla jakich wartości parametru b ciąg:

b) \(a_n=\frac{b^2n}{(b+4)n+b}\) ma granicę równą \(2\)
\(\frac{b^2}{b+4}=2\\
b^2=2b+8\\
b^2-2b-8=0\\
b=4\\
b=-2\)
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę 👍
Awatar użytkownika
Jerry
Expert
Expert
Posty: 3465
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 50 razy
Otrzymane podziękowania: 1901 razy

Re: Zadania uzupełniające.

Post autor: Jerry »

nijak pisze: 26 sty 2023, 21:05 5. Dla jakich wartości parametru b ciąg:
a) \(a_n=\frac{bn}{(b+1)n+3}\) ma granicę równą \(- \infty \)
Jeżeli \(b\ne-1\), to dany ciąg ma granicę właściwą, równą \({b\over b+1}\). W przeciwnym wypadku
\(\Limn a_n=\Limn \frac{-n}{3}=-\infty\).

Pozdrawiam
Awatar użytkownika
Jerry
Expert
Expert
Posty: 3465
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 50 razy
Otrzymane podziękowania: 1901 razy

Re: Zadania uzupełniające.

Post autor: Jerry »

nijak pisze: 26 sty 2023, 21:05 5. Oblicz \(\lim_{n \to \infty}a_n\).
b) \(a_n=f(n) = \begin{cases} \frac{2n}{1+n^2}, & \text{dla }n\leq 1000 \\ \frac{1-n}{1+n}, & \text{dla }n>1000 \end{cases}\)
\(\Limn a_n=\Limn\frac{1-n}{1+n}=-1\)

Pozdrawiam
Awatar użytkownika
Jerry
Expert
Expert
Posty: 3465
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 50 razy
Otrzymane podziękowania: 1901 razy

Re: Zadania uzupełniające.

Post autor: Jerry »

nijak pisze: 26 sty 2023, 21:05 5. Oblicz \(\lim_{n \to \infty}a_n\).
c) \(a_n=f(n) = \begin{cases} \frac{1}{n}, & \text{dla }n\leq 500 \\ \frac{6n+1}{2n+1}, & \text{dla }n>500 \end{cases}\)
\(\Limn a_n=\Limn \frac{6n+1}{2n+1}=3\)

Pozdrawiam
Awatar użytkownika
Jerry
Expert
Expert
Posty: 3465
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 50 razy
Otrzymane podziękowania: 1901 razy

Re: Zadania uzupełniające.

Post autor: Jerry »

nijak pisze: 26 sty 2023, 21:05 1. Podaj liczbę rozwiązań równania \(f(x)=mx\) w zależności od parametru m.
a) \(f(x)=|\frac{1}{x}|+4\)
Odpowiedź z animacji:
  • brak rozwiązań dla \(m=0\)
  • jedno rozwiązanie dla \(m\ne0\)
Pozdrawiam
Awatar użytkownika
Jerry
Expert
Expert
Posty: 3465
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 50 razy
Otrzymane podziękowania: 1901 razy

Re: Zadania uzupełniające.

Post autor: Jerry »

nijak pisze: 26 sty 2023, 21:05 1. Podaj liczbę rozwiązań równania \(f(x)=mx\) w zależności od parametru m.
b) \(f(x)=\frac{1}{|x+1|}-1\)
  1. Dla \(x>-1\) mamy
    \({1\over x+1}-1=mx\\
    {-x\over x+1}=mx\\
    x=0\vee {-1\over x+1}=m\)
    Z animacji
    • jedno rozwiązanie dla \(m\ge0\color{red}{\vee m=-1}\)
    • dwa rozwiązania dla \(m<0\color{red}{\wedge m\ne-1}\)
  2. Dla \(x<-1\) mamy
    \({1\over -x-1}-1=mx\\
    {x+2\over -x-1}=mx\quad|:x\\
    {-x-2\over x^2+x}=m\)
    Rozpatrzmy funkcję \(y=f(x)={-x-2\over x^2+x}\wedge D=(-\infty;-1)\)
    • \(\Lim_{x\to-\infty}f(x)=0\\ \Lim_{x\to-1^-}f(x)=-\infty\)
    • \(f'(x)=\frac{x^2+4x+2}{(x^2+x)^2}\wedge D'=D\)
    • WKIE: \(y'(x)=0\iff x=-2-\sqrt2\)
    • z analizy znaku pochodnej: \(\begin{cases}x=-2-\sqrt2\\y_\max=3-2\sqrt2\end{cases}\)
    Z animacji
    • brak rozwiązań dla \(m>3-2\sqrt2\)
    • jedno rozwiązanie dla \(m\le0\) oraz dla \(m=3-2\sqrt2\)
    • dwa rozwiązania dla \(0<m<3-2\sqrt2\)
Pozostaje zebrać odpowiedzi...

Pozdrawiam

[edited] poprawka, bo pojawia się podwójny pierwiastek \(x=0\)
ODPOWIEDZ