nierówność z wartością bezwzględną

[BarT123oks]

\(|2x-x^2|-|x-2|>x-2\)

[eresh]

\(|2x-x^2|-|x-2|>x-2\)

\(|x^2-2x|-|x-2|>x-2\\\)

1. \(x\in (-\infty, 0]\)
\(x^2-2x+x-2>x-2\\
x(x-2)>0\\
x\in (-\infty, 0)\)

2. \(x\in (0,2)\)
\(-x^2+2x+x-2>x-2\\
-x(x-2)>0\\
x\in (0,2)\)

3. \(x\in [2,\infty)\)
\(x^2-2x-x+2>x-2\\
x^2-4x-4>0\\
(x-2)^2>0\\
x\in (2,\infty)\)

Odpowiedź: \(x\in\mathbb{R}\setminus\{0,2\}\)

[Jerry]

Albo:
Zauważmy, że \(x=2\) nie jest rozwiązaniem nierówności, zatem dla \(x\ne2\), podzielmy nierówność stronami przez \(|x-2|\) uzyskując:
\(|x|-1>\frac{x-2}{|x-2|}\\
\begin{cases}x<2\\|x|-1>-1\end{cases}\vee\begin{cases}x>2\\|x|-1>1\end{cases}\\ \quad\ldots\)
Pozdrawiam