Dowód
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Dowód
Dla pewnych liczb rzeczywistych x, y zachodzi równość \(\frac{1+x^4}{x^2} + \frac{1+16y^4}{4y^2} = 4\). Udowodnij, że \(x^2 + y^2 = \frac{5}{4}\).
Ostatnio zmieniony 15 sty 2023, 13:06 przez Jerry, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości; cała "matematyka" w kodzie i [tex] [/tex]
Powód: Poprawa wiadomości; cała "matematyka" w kodzie i [tex] [/tex]
Uczeń
-
eresh
- Guru
- Posty: 16825
- Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
- Podziękowania: 6 razy
- Otrzymane podziękowania: 10381 razy
- Płeć:
Re: Dowód
\(x\neq 0\\
\frac{1+x^4}{x^2}+\frac{1+16y^4}{4y^2}=4\\
\frac{(1-x^2)^2+2x^2}{x^2}+\frac{(1-4y^2)^2+8y^2}{4y^2}=4\\
(\frac{1-x^2}{x})^2+2+(\frac{1-4y^2}{2y})^2+2=4\\
(\frac{1-x^2}{x})^2+(\frac{1-4y^2}{2y})^2=0\\
1-x^2=0\;\;\;\wedge\;\;\;1-4y^2=0\\
x^2=1\;\;\wedge\;\;y^2=\frac{1}{4}\\
x^2+y^2=\frac{5}{4}\)
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę 
-
Jerry
- Expert
- Posty: 3530
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 50 razy
- Otrzymane podziękowania: 1936 razy
Re: Dowód
Albo, bezpośrednio z faktu:
\[\bigwedge\limits_{a>0}a+{1\over a}\ge2\wedge (a+{1\over a}=2\iff a=1)\]
mamy
\(\left(\frac{1}{x^2}+x^2\right) + \left(\frac{1}{(2y)^2}+(2y)^2\right) \ge 2+2=4\wedge\left(\left(\frac{1}{x^2}+x^2\right) + \left(\frac{1}{(2y)^2}+(2y)^2\right)=4\iff\begin{cases}x^2=1\\(2y)^2=1\end{cases}\right)\)
Pozdrawiam
\[\bigwedge\limits_{a>0}a+{1\over a}\ge2\wedge (a+{1\over a}=2\iff a=1)\]
mamy
\(\left(\frac{1}{x^2}+x^2\right) + \left(\frac{1}{(2y)^2}+(2y)^2\right) \ge 2+2=4\wedge\left(\left(\frac{1}{x^2}+x^2\right) + \left(\frac{1}{(2y)^2}+(2y)^2\right)=4\iff\begin{cases}x^2=1\\(2y)^2=1\end{cases}\right)\)
Pozdrawiam