Prosta o równaniu, wyznacz równanie

[avleyi]

Prosta o równaniu \(y=a^2x+3a\) przecina hiperbolę o równaniu \(y= \frac{4}{x} \) w dwóch punktach \(A\) i \(B\). Wyraź długość odcinka \(AB\) w zależności od wartości parametru \(a<0\). Wyznacz równanie prostej, która przecina opisaną w zadaniu hiperbolę tak, aby długość odcinka \(AB\) była najmniejsza.

[kerajs]

\(\frac{4}{x}=a^2x+3a \\
a^2x^2+3ax-4=0\\
(ax+4)(ax-1)=0\)
punkty przecięcia to \(\left( \frac{-4}{a}, -a \right) \) i \(\left( \frac{1}{a}, 4a \right) \)
Kwadrat odległości:
\((\frac{5}{a})^2+(5a)^2 \ge 2 \sqrt{(\frac{5}{a})^2(5a)^2 }=50 \)
równość zachodzi dla \(a=-1\) lub \(a=1\) więc szukaną prostą jest \(y=-x\)
EDIT:
Błąd mam na samym końcu, gdyż \(a=-1\) zamiast wstawić do prostej \(y=a^2x+3a\), to wstawiłem do \(y=a\) (ta występowała w zadaniu które rozwiązywałem jako poprzednie).
Dlatego ostatnia linijka powinna mieć postać:
równość zachodzi dla \(a=-1\) lub \(a=1\) więc szukaną prostą jest \(y=x-3\)

[Jerry]

\(\begin{cases}y=a^2x+3a\\y=\frac{4}{x}\end{cases}\So a^2x^2+3ax-4=0\wedge a<0\\
\Delta=25a^2\So \sqrt\Delta=-5a\\
A:\begin{cases}x_1={-4\over a}\\ y_1=-a\end{cases}\vee B:\begin{cases}x_2={1\over a}\\ y_2=4a\end{cases}\\
|AB|=\sqrt{({1\over a}+{4\over a})^2+(4a+a)^2 }=5\sqrt{{1\over a^2}+a^2}\ge5\sqrt2 \)
i równość zachodzi dla
\(a^2=1\iff a=-1\).
Zatem
\(A(4,1),\ B(-1,-4)\)
i szukana prosta ma równanie
\(y=x-3\)

Pozdrawiam

[kerajs]

Dopisałem komentarz do poprzedniego swojego postu.

Do szukania minimum możesz także użyć pochodnej z odległości między punktami, lub z kwadratu tej odległości, i dostaniesz taki sam wynik.