Równanie wielomianowe

[xenoneq_o0]

Wykaż, że jeżeli wielomian \( W (x) = x^{3} + ax + b \) ma pierwiastek dwukrotny, to \( 4a^{3} + 27b^{2} = 0 \)

Czy dałoby się udowodnić to stosując wzory Viete'a?

[kerajs]

Tak.
\( \begin{cases} 0=-2p-q \\
a=p^2+2pq \\
b=-p^2q\end{cases} \)
\(q=-2p \ \ \So \begin{cases}
a=p^2-4p^2 \\
b=2p^3\end{cases}\)
\(a^3=-27p^6=-27 \cdot \frac{b^2}{4}\)

Aczkolwiek szybciej byłoby z pochodnej.

[xenoneq_o0]

Tak.
\( \begin{cases} 0=-2p-q \\
a=p^2+2pq \\
b=-p^2q\end{cases} \)
\(q=-2p \ \ \So \begin{cases}
a=p^2-4p^2 \\
b=2p^3\end{cases}\)
\(a^3=-27p^6=-27 \cdot \frac{b^2}{4}\)

Aczkolwiek szybciej byłoby z pochodnej.

Dziękuję bardzo

[mosdef21]

A jak wykorzystać tutaj wzory Viete'a?

[eresh]

A jak wykorzystać tutaj wzory Viete'a?

Dokładnie tak jak napisał kerajs

[eresh]

No tego właśnie nie rozumiem
\(a^3=-27p^6=-27 \cdot \frac{b^2}{4}\)

\(a=p^2-4p^2=-3p^2\\
b=2p^3\\
4a^3+27b^2=4\cdot (-27p^6)+27\cdot 4p^6=0\)

[eresh]

DIękuję bardzo ale mogłaby Pani to rozpisać proszę niezmiernie. Chodzi mnie tylko do tego układu równań czyli te wzory Vietea i to wszystko

Wzory Viete'a dla równania \(x^3+bx^2+cx+d=0:
\)
\(x_1+x_2+x_3=-b\\
x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=c\\
x_1x_2x_3=-d\)

p - dwukrotny pierwiastek
q - jednokrotny pierwiastek

\(p+p+q=0\\
p\cdot p+p\cdot q+p\cdot q=a\\
p\cdot p\cdot q=-b\)

[eresh]

Dzięki a dlaczego \(p+p+q=0\) ta suma jest równa zero

Wzory Viete'a dla równania \(x^3+bx^2+cx+d=0:
\)
\(x_1+x_2+x_3=-b\\\)

nasze równanie:
\(x^3+ax+b=0\\
x_1=p\\
x_2=p\\
x_3=q\\
\)
Suma rozwiązań jest równa liczbie przeciwnej do współczynnika stojącego przy \(x^2\) ( u nas tym współczynnikiem jest zero)

[mosdef21]

A co przyjąć za c w tym równaniu bo w drugim rozpatrywanym przypadku wzór Viete'a wygląda tak \( \frac{c}{a} \)

[eresh]

A co przyjąć za c w tym równaniu bo w drugim rozpatrywanym przypadku wzór Viete'a wygląda tak \( \frac{c}{a} \)

\(c\) jest współczynnikiem przy \(x\) w pierwszej potędze, czyli u nas jest to \(a\)

[mosdef21]

Czyli nasze b to d?

[eresh]

Czyli nasze b to d?

Tak