Układ równań z parametrem

[desviado]

Wyznaczyć wszystkie wartości parametru a, dla których układ równań ma co najmniej jedno rozwiązanie.
\(\begin{cases}2x^2 - 2xy + 10y^2 = a^4 - 6a^3 + 9a^2 - 19 + \sqrt{85}\\
x^2 + 2xy - 3y^2 = 4\end{cases}\)
Odpowiedź z książki to \(a \in (-\infty,-1] \cup [4,\infty)\)

[Jerry]

Dany układ jest układem równań jednorodnych... Niech \(a^4 - 6a^3 + 9a^2 - 19 + \sqrt{85}=2m\). Wtedy
\(\begin{cases}x^2-xy+y^2=m\\ x^2+2xy-3y^2=4\end{cases}\)

1. \(x=0\So -3y^2=4\So y\in\emptyset\) z (ii)
2. \(x\ne0\So \bigvee\limits_{t\in\rr}y=xt\) i z układu wynika równanie:
   \(\dfrac{x^2(1-t+5t^2)}{x^2(1+2t-3t^2)}=\dfrac{m}{4}\wedge -{1\over3}<t<1\\ \ldots\\
   (3m+20)t^2-(2m+4)t-m+4=0\)
   • Przypadek liniowy - istnieje rozwiązanie nie spełniające warunku
   • Przypadek kwadratowy:
     \(\Delta(m)\ge0\Leftarrow (2m\le-3-\sqrt{85}\vee2m\ge-3+\sqrt{85})\)
   • Weryfikacja warunku \(-{1\over3}<t<1\):
     \(2m\ge-3+\sqrt{85}\)

Pozostaje
\( a^4 - 6a^3 + 9a^2 - 19 + \sqrt{85}\ge-3+\sqrt{85}\\
(a^2 - 3a)^2- 4^2 \ge0\\
\ldots\)

Pozdrawiam

[edited] Obrazek