Trygonometria - równania

[avleyi]

Rozwiąż równania:
a) \(cos2x - 3cosx+2=0, x \in <- \pi , \pi >\)

b) \(2cos2x+2cos4x+3sin^22x=1\)

c) \(cos^2x+sinx \cdot cosx=1\)

d) \(sinx+cosx+sin2x+cos2x=0, x \in <0,2 \pi >\)

e) \(cosxcos2x=cos3x\)

f) \( \frac{4cos^2x-1}{cosx(cosx+1)} \le 0 \)

g) \(sin^6x+cos^6x = \frac{7}{16}cos2x+ \frac{cosx}{ \sqrt{3} }-1 > 0 \)

[eresh]

Rozwiąż równania:
a) \(cos2x - 3cosx+2=0, x \in <- \pi , \pi >\)

\(2\cos^2x-1+3\cos x+2=0\\
\cos x=t\\
2t^2+3t+1=0\\
t=-\frac{1}{2}\;\;\vee\;\;t=-1\\
\cos x=\frac{-1}{2}\;\;\;\vee\;\;\;\cos x=-1\\
x\in\{-\frac{2\pi}{3},\frac{2\pi}{3}, -\pi, \pi\}\)

[eresh]

Rozwiąż równania:

b) \(2cos2x+2cos4x+3sin^22x=1\)

\(2\cos 2x+2(2\cos^22x-1)+3(1-\cos^22x)=1\\
2\cos 2x+4\cos^22x-2+3-3\cos^22x=1\\
3\cos^22x=0\\
\cos 2x=0\\
2x=\frac{\pi}{2}+k\pi\\
x=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}\)

[eresh]

Rozwiąż równania:


c) \(cos^2x+sinx \cdot cosx=1\)

\(\cos^2x+\sin x\cos x=\sin^2x+\cos^2x\\
\sin x\cos x-\sin^2x=0\\
\sin x(\cos x-\sin x)=0\\
\sin x=0\;\;\;\vee\;\;\;\cos x=\sin x\)
z tym już, mam nadzieję, sobie poradzisz

[eresh]

Rozwiąż równania:


d) \(sinx+cosx+sin2x+cos2x=0, x \in <0,2 \pi >\)

\(\sin x+\sin 2x+\cos x+\cos 2x=0\\
2\sin\frac{3x}{2}\cos \frac{x}{2}+2\cos\frac{3x}{2}\cos \frac{x}{2}=0\\
2\cos\frac{x}{2}(\sin\frac{3x}{2}+\cos\frac{3x}{2})=0\\
\cos\frac{x}{2}=0\;\;\;\sin\frac{3x}{2}+\cos\frac{3x}{2}=0\\
x\in\{\pi, \frac{\pi}{2},\frac{7\pi}{6},\frac{11\pi}{6}\}\)

[eresh]

Rozwiąż równania:


e) \(cosxcos2x=cos3x\)
[/tex]

\(\frac{1}{2}(\cos 3x+\cos x)=\cos 3x\\
\cos 3x+\cos x=2\cos 3x\\
\cos x-\cos 3x=0\\
-2\sin\frac{4x}{2}\sin\frac{-2x}{2}=0\\
2\sin 2x\sin x=0\\
\sin 2x=0\;\;\vee\;\;\sin x=0\\
2x=k\pi\;\;\vee\;\;x=k\pi\\
x=\frac{k\pi}{2}\;\;\;\;x=k\pi\)

[eresh]

Rozwiąż równania:


g) \(sin^6x+cos^6x = \frac{7}{16}cos2x+ \frac{cosx}{ \sqrt{3} }-1 > 0 \)

tu się coś skleiło?

[avleyi]

Rozwiąż równania:


g) \(sin^6x+cos^6x = \frac{7}{16}cos2x+ \frac{cosx}{ \sqrt{3} }-1 > 0 \)

tu się coś skleiło?

oj tak powinny to być dwa odzzielne przyklady
\(sin^6x+cos^6x = \frac{7}{16}\)

[avleyi]

i \( cos2x+ \frac{cosx}{ \sqrt{3} }-1 > 0\)

[Jerry]

\(\sin^6x+\cos^6x = \frac{7}{16}\)

Z
\((\sin^2x+\cos^2x)^3=1^3\)
wynika
\(\sin^6x+\cos^6x=1-3\sin^2x\cos^2x(\sin^2x+\cos^2x)=1-{3\over4}\sin^22x=\\
\qquad={3\over8}({5\over3}+1-2\sin^22x)={3\over8}({5\over3}+\cos4x)\)
Dane równanie jest zatem równoważne
\({3\over8}({5\over3}+\cos4x)={7\over16}\\
{5\over3}+\cos4x={7\over6}\\
\cos4x=-{1\over2}\\
(4x={2\pi\over3}+k\cdot2\pi\vee4x=-{2\pi\over3}+k\cdot2\pi)\wedge k\in\zz\\
(x={2\pi\over12}+k\cdot{\pi\over2}\vee x=-{2\pi\over12}+k\cdot{\pi\over2})\wedge k\in\zz\)

Pozdrawiam

[Jerry]

\( \cos2x+ \frac{\cos x}{ \sqrt{3} }-1 > 0\)

\(2\cos^2x-1+{\sqrt3\over3}\cos x-1>0\\
6\cos^2x+\sqrt3\cos x-6>0\\ \qquad \Delta = 147\\
(\cos x<\frac{-\sqrt3-\sqrt{147}}{12}\vee \cos x>\frac{-\sqrt3+\sqrt{147}}{12})\wedge -1\le\cos x\le1\So\\ \qquad \So\cos x>\frac{-\sqrt3+\sqrt{147}}{12}\)
Wykres
\(-\arccos\frac{-\sqrt3+\sqrt{147}}{12}+k\cdot2\pi<x<\arccos\frac{-\sqrt3+\sqrt{147}}{12}+k\cdot2\pi\wedge k\in\zz\)


Pozdrawiam
PS. Treść zadania była oryginalna?