Dla jakich wartości parametru, ma 3 rozw

[avleyi]

Dla jakich wartości parametru p równanie \(x^3-px+p-1=0 , p \in \rr \) ma trzy rozwiązania

[eresh]

Dla jakich wartości parametru p równanie \(x^3-px+p-1=0 , p \in \rr \) ma trzy rozwiązania

\(x^3-1-px+p=0\\
(x-1)(x^2+x+1)-p(x-1)=0\\
(x-1)(x^2+x+1-p)=0\\
x=1\)
równanie \(x^2+x+1-p=0\) musi mieć dwa różne rozwiązania i żadne z nich nie może być równe 1

\(\Delta>0\\
1-4(1-p)>0\\
1-4+4p>0\\
4p>3\\
p>\frac{3}{4}\)

\(1+1+1-p\neq 0\\
3-p\neq 0\\
p\neq 3\)

\(p\in (\frac{3}{4},\infty)\setminus\{3\}\)

[Jerry]

Ponieważ
\(w(x)=x^3-1-px+p=(x-1)(x^2+x+1)-p(x-1)=(x-1)(x^2+x+1-p)\)
to trzeba i wystarczy
\(\begin{cases}1^2-4\cdot1\cdot(1-p)>0\\ 1^2+1+1-p\ne0\end{cases}\)

Pozdrawiam