Wyznacz wartości parametru

[avleyi]

Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie \((m^2-m)x^2-x+1=0 \) ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste \(x_1, x_2\) takie, że \( \frac{1}{x_1+x_2} \le \frac{m}{3} \le \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} \)

[eresh]

Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie \((m^2-m)x^2-x+1=0 \) ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste \(x_1, x_2\) takie, że \( \frac{1}{x_1+x_2} \le \frac{m}{3} \le \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} \)

1.
\(m^2-m\neq 0\\
m(m-1)\neq 0\\
m\neq 0\;\;\wedge\;\;m\neq 1\)

2.
\(\Delta>0\\
1-4(m^2-m)>0\\
1-4m^2+4m>0\\
-4m^2+4m+1>0\\
m\in (\frac{1-\sqrt{2}}{2},\frac{1+\sqrt{2}}{2})\)

3.
\(\frac{1}{x_1+x_2} \le \frac{m}{3} \le \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} \\
\frac{1}{x_1+x_2}\leq \frac{m}{3}\leq \frac{x_1+x_2}{x_1x_2}\\
3m^2-3m\leq m\leq 1\\
3m^2-3m\leq m\;\;\;\wedge\;\;\;m\leq 1\\
m\in (0,1)\)

odp. \(m\in (\frac{1-\sqrt{2}}{2},0)\cup (1,\frac{1+\sqrt{2}}{2})\)