Równanie, parametr

[avleyi]

Dane jest równanie postaci \((cosx-1) \cdot (cosx+p+1)=0\), gdzie \(p \in \rr \)jest parametrem
a) Dla p=-1 wypisz wszystkie rozwiązania tego równania należące do przedziału <0, 5>
b) Wyznacz wszystkie wartości parametru p, dla których dane równanie ma w przedziale \((- \pi , \pi )\) trzy różne rozwiązania

[kerajs]

Dane jest równanie postaci \((cosx-1) \cdot (cosx+p+1)=0\), gdzie \(p \in \rr \)jest parametrem
a) Dla p=-1 wypisz wszystkie rozwiązania tego równania należące do przedziału <0, 5>
b) Wyznacz wszystkie wartości parametru p, dla których dane równanie ma w przedziale \((- \pi , \pi )\) trzy różne rozwiązania

a)
\(\cos x=1 \ \ \vee \ \ \cos x=0 \\
x= k2 \pi \ \ \vee \ \ x= \frac{ \pi }{2}+k \pi \)

Skoro: \( \frac{3}{2} \pi <5< \frac{7}{4} \pi \) to \(x \in \left\{ 0,\frac{ \pi }{2} , \frac{ 3\pi }{2} \right\} \)
b) w przedziale \((- \pi , \pi ) \) równanie \(\cos x=1\) na tylko 1 pierwiastek więc \( cosx=-p-1\) musi mieć ich dwa. Wystarczy aby \(-1 \le -p-1 \le 1\) czyli \(-2<p<0\)