Rozwiąż nierówności

[avleyi]

Rozwiąż:
a) \(|\cos x- \frac{1}{2}| < 1 \), \(x \in (0, 2 \pi )\)

b) \(\sin^2x \le 0,5\)

c) \( \frac{\cos2x}{\sin x} < 1 \), \(x \in (- \pi , 2 \pi )\)

[Jerry]

a) \(|cosx- \frac{1}{2}| < 1 \), \(x \in (0, 2 \pi )\)

\(|\cos x-{1\over2}|<1\\
\cos x-{1\over2}<1\wedge \cos x-{1\over2}>-1\\
\cos x<{3\over2}\wedge \cos x> -{1\over2}\\
x\in\rr \wedge x\in\left(-{2\pi\over3}+k\cdot2\pi;{2\pi\over3}+k\cdot2\pi\right)\wedge k\in\zz \\
x \in (0, 2 \pi )\So x\in\left(0;{2\pi\over3}\right)\cup\left({4\pi\over3};2\pi\right)\)

Pozdrawiam
[edited] Rysunek

[Jerry]

b) \(sin^2x \le 0,5\)

\(|\sin x|\le{\sqrt2\over2}\\
-{\pi\over4}+k\cdot\pi\le x\le {\pi\over4}+k\cdot\pi\wedge k\in\zz\)

Pozdrawiam
[edited] Rysunek

[Jerry]

c) \( \frac{cos2x}{sinx} < 1 \), \(x \in (- \pi , 2 \pi )\)

\({\cos2x\over\sin x}<1\iff {1-2\sin^2x-\sin x\over\sin x}<0\)
Niech \(\sin x=t\in[-1;0)\cup(0;1]\), wtedy
\(-2t(t+1)(1-{1\over2})<0\\
-1<t<0\vee {1\over2}<t\le1\)
Narysuj wykres \(y=\sin x\) w zadanym przedziale i przeczytaj argumenty, dla których
\(-1<\sin x<0\vee {1\over2}<\sin x\le1\)
czyli
\(x\in(-\pi,-{\pi\over2})\cup(-{\pi\over2};0)\cup({\pi\over6};{5\pi\over6})\cup(\pi,{3\pi\over2})\cup({3\pi\over2};2\pi)\)

Pozdrawiam

[edited] Rysunek