równania wykładnicze

[anilewe_MM]

Z misiowej półeczki, jak mówi nasz profesor

a) \(2^x+3^x+5^x=160\)
b) \((\frac{\sqrt6-\sqrt2}{2})^x+\sqrt{2+\sqrt3}^x=2^x\)

[kerajs]

a)
Lewa strona jest rosnąca więc jest tylko jedno rozwiązanie. Próba wstawienia x=3 je daje.
Gdyby rozwiązanie nie było liczbą całkowitą, to tylko numerycznie można znaleźć jego przybliżoną wartość.

b) \((\frac{\sqrt6-\sqrt2}{2})^x+\sqrt{2+\sqrt3}^x=2^x \\
(2-\sqrt3)^{x/2}+(2+\sqrt3)^{x/2}=4^{x/2} \\
t=x/2 \\
(2-\sqrt3)^{t}+(2+\sqrt3)^{t}=4^{t}
\) Brak rozwiązań ujemnych bo
\((2-\sqrt3)^{t}+(2+\sqrt3)^{t} \ge 2 \sqrt{(2-\sqrt3)^{t}(2+\sqrt3)^{t}} =2\)
a dla ujemnych t zachodzi \(0<4^t<1\)
Dla dodatnich t:
Lewa strona równania rośnie wolniej od prawej więc jest tylko jedno rozwiązanie (t=1)

[Jerry]

b) \((\frac{\sqrt6-\sqrt2}{2})^x+\sqrt{2+\sqrt3}^x=2^x\)

Po podzieleniu stronami przez \(2^x\) mamy, w dziedzinie rzeczywistej,
\((\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4})^x+(\frac{\sqrt{2+\sqrt3}}{2})^x=1\)
Funkcja lewej strony jako suma funkcji malejących jest malejąca, czyli różnowartościowa. Wystarczy zauważyć, że \(x=2\) spełnia dane równanie

Pozdrawiam
PS. \(\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}=\sin15^\circ,\ \frac{\sqrt{2+\sqrt3}}{2}=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}=\cos15^\circ\)

[kerajs]

Z misiowej półeczki, jak mówi nasz profesor

Czyżby to były zadania z książek Bogdana Misia?

PS. \(\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}=\sin15^\circ,\ \frac{\sqrt{2+\sqrt3}}{2}=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}=\cos15^\circ\)

Wow!

[anilewe_MM]

Czyżby to były zadania z książek Bogdana Misia?

Odważyłam się i zapytałam. Profesor się zdziwił, że słyszałam o tym panu i skomentował, że "to są zadania, które mi się podobają"

[kerajs]

Odważyłam się i zapytałam. Profesor się zdziwił, że słyszałam o tym panu i skomentował, że "to są zadania, które mi się podobają"

Ach, to stąd te ''mi sie''.

Nb, ta sytuacja potwierdza, że żarty matematyków często nie są zrozumiałe dla odbiorców.

[Jerry]

Czyżby to były zadania z książek Bogdana Misia?

Właśnie do mnie dotarło, że odszedł...
https://plejada.pl/newsy/nie-zyje-bogda ... ch/89dklh8

RIP

[kerajs]

\(\)[*]

RIP

[korki_fizyka]

Ja go pamiętam jeszcze z programów w TV pt. "Aula" nadawanych w połowie lat '60. Potem były lektury WiŻ, Problemów, PC, a po latach odnalazłem go na racjonalista.pl i kanale YouTube. Bogdan Miś był ateistą więc..może po prostu, że pamięć o nim będzie w nas trwać.